[논문 리뷰] Hadamard Products and Tilings

Jong‐Hyun Kim|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 03.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유리형 생성함수의 허다드 곱에 대해 명시적인 공식을 유도하기 위해 타일링 모델을 사용하는 조합적 접근을 제시한다. 특히 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ 형태의 표현에 대해 다룬다. 허다드 곱을 $2\times n$ 직사각형의 가중 타일링으로 모델링하고, 타일링을 소수 블록으로 분해함으로써, 닫힌 형식의 유리 생성함수를 도출한다. 이는 샤피로의 이전 결과인 체비셰프 다항식에 대한 일반화이며, 비대칭 타일링 제약 조건으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Louis W. Shapiro gave a combinatorial proof of a bilinear generating function for Chebyshev polynomials equivalent to the formula 1/(1-ax-x^2) * 1/(1-bx-x^2) = (1-x^2)/(1-abx-(2+a^2+b^2)x^2 -abx^3+x^4), where * denotes the Hadamard product. In a similar way, by considering tilings of a 2 by n rectangle with 1 by 1 and 1 by 2 bricks in the top row, and 1 by 1 and 1 by n bricks in the bottom row, we find an explicit formula for the Hadamard product 1/(1-ax-x^2) * x^m/(1-bx-x^n).

연구 동기 및 목표

• 샤피로의 체비셰프 다항식에 대한 이중선형 생성함수에 대한 조합적 증명을 비대칭 타일링 설정으로 확장하기 위해.
• 타일링 분해를 이용하여 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$의 명시적 유리 생성함수를 유도하기 위해.
• 맥마혼 연산자와 허다드 곱의 프레임워크를 비균일 타일링 제약 조건을 가진 유리 함수로 일반화하기 위해.
• 한의 항등식과 같이 알려진 결과들을 새로운 타일링 기반 형식에서 재구성하고 재유도하기 위해.

제안 방법

• 허다드 곱을 $2\times n$ 직사각형의 두 타일링 쌍으로 모델링하며, 상단 행은 $1\times1$ 및 $1\times2$ 타일을 $a$로 가중치를 두고, 하단 행은 $1\times1$ 및 $1\times n$ 타일을 $b$로 가중치를 두는 방식으로.
• 소수 블록을 더 이상 분해할 수 없는 타일링 단위로 정의하고, 그 생성함수 $P_n(x)$를 계산하여 타일링 시스템의 재귀적 구조를 표현한다.
• 라우렌트 급수에서 음이 아닌 차수 항을 추출하기 위해 맥마혼 연산자 $\Omega_{\geq}$를 사용하여, 타일링 분해로부터 생성함수를 유도한다.
• 첫 번째 블록(초기 타일링 세그먼트)과 후속 소수 블록을 별도로 분류함으로써, $Q_{m,n}(x)/(1 - P_n(x))$ 형태의 유리 생성함수를 도출한다.
• 레마 2.1의 항등식을 적용하여 피보나치 유사 다항식 간의 관계를 활용한다: $f_{m-1}(a)f_{n-1}(a) - f_m(a)f_{n-2}(a) = (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a)$, 이를 통해 생성함수의 계수를 단순화한다.
• 타일링이 소수 블록의 순서로 유일하게 분해된다는 사실을 이용하여, 최종적으로 허다드 곱의 유리형 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허다드 곱 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$은 조합적 타일링 모델을 통해 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 상단 행이 $1\times m$ 블록으로 시작하고 하단 행이 $1\times n$ 블록을 사용하는 타일링 시스템에서 첫 번째 블록의 가중치 생성함수는 무엇인가?
• RQ3 소수 블록과 첫 번째 블록으로의 타일링 분해가 허다드 곱에 대해 유리형 닫힌 표현식을 어떻게 이끌어내는가?
• RQ4 한의 항등식 $\Omega_{\geq}$는 이 타일링 기반 형식에서 재구할 수 있는가?
• RQ5 하나의 블록이 $b=0$일 경우, 하단 행이 $1\times1$ 타일로만 구성되는 경우 생성함수의 구조는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 허다드 곱 $\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$은 $m \geq 1$, $n \geq 2$ 조건 하에 $\frac{f_m(a)x^m + b f_{m-1}(a)x^{m+1} + (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a) x^{m+n}}{1 - f_{n-2}(a)x^n}$ 으로 주어지며, 분모는 $1 - f_{n-2}(a)x^n$ 으로 수정되어야 한다.
• 일반적으로 $b=0$일 경우 공식은 $\sum_{k \geq 0} f_{m+nk}(a) x^{m+nk} = \frac{f_m(a)x^m + (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a) x^{m+n}}{1 - (f_n(a) + f_{n-2}(a))x^n + (-1)^n x^{2n}}$ 로 단순화되며, 피보나치 유사 계수의 산술적 등차수열을 위한 유리 생성함수를 제공한다.
• 만약 $m = qn + r$ 이고 $0 < r < n$ 이면, 허다드 곱 $\frac{x^m}{1-ax-x^2} \ast \frac{1}{1-x^n}$ 은 $\frac{f_{n-r}(a)x^{(q+1)n} + (-1)^{n-r-1} f_{|r-1|-1}(a) x^{(q+2)n}}{1 - (f_n(a) + f_{n-2}(a))x^n + (-1)^n x^{2n}}$ 로 주어지며, $m = qn$ 인 경우는 별도의 케이스로 다뤄진다.
• 타일링 모델에서 첫 번째 블록의 생성함수는 유리형이며, 소수 블록 분해에 기반한 재귀식을 통해 유도되며, 이는 전체 허다드 곱이 유리 함수로 표현될 수 있음을 가능하게 한다.
• 이 방법을 통해 $1/(1-ax-x^2) \ast 1/(1-bx-x^3)$에 대한 유도된 공식에서, 한의 항등식 $\Omega_{\geq} \frac{1}{(1-zx-zx^2)(1-y/x-y/x^2)} = \frac{1+z^2y}{(1-2z)(1-3zy-z^2y-zy^2)}$ 를 재구성할 수 있다.
• 논문은 일반적인 프레임워크를 수립하여, 유리 생성함수의 허다드 곱이 첫 번째 블록과 소수 블록의 순서로 구성된 타일링 시스템과 대응되며, $Q_{m,n}(x)/(1 - P_n(x))$를 통해 유리 생성함수를 도출함을 보여준다.