[논문 리뷰] Hahn Field Representation of A. Robinson's Asymptotic Numbers

Todor Todorov, Robert Wolf|ArXiv.org|2006. 01. 30.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 A. 로빈슨의 점점 다가가는 수의 체 $^\rho\mathbb{R}$ 와 하인 필드 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ 사이의 동형사상 수립을 통해, 비표준 확장 ${}^*\mathbb{R}$ 가 완전 포화 상태일 때 잔여 체 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 가 ${}^*\mathbb{R}$ 와 동형임을 보이며, 따라서 $^\rho\mathbb{R}$ 는 ${}^*\mathbb{R}$ 의 사본을 포함한다. 이는 서로 다른 척도에 대응하는 모든 점점 다가가는 수 체가 서로 동형임을 의미하며, 비선형 일반화된 함수 이론 응용에 있어 핵심적인 결과이다.

ABSTRACT

Let $^*\mathbb{R}$ be a nonstandard extension of $\mathbb{R}$ and $ρ$ be a positive infinitesimal in $^*\mathbb{R}$. We show how to create a variety of isomorphisms between A. Robinson's field of asymptotic numbers $^ρ\mathbb{R}$ and the Hahn field $\hat{^ρ\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$, where $\hat{^ρ\mathbb{R}}$ is the residue class field of $^ρ\mathbb{R}$. Then, assuming that $^*\mathbb{R}$ is fully saturated we show that $\hat{^ρ\mathbb{R}}$ is isomorphic to $^*\mathbb{R}$ and so $^ρ\mathbb{R}$ contains a copy of $^*\mathbb{R}$. As a consequence (that is important for applications in non-linear theory of generalized functions) we show that every two fields of asymptotic numbers corresponding to different scales are isomorphic.

연구 동기 및 목표

• A. 로빈슨의 점점 다가가는 수의 체 $^\rho\mathbb{R}$ 와 그 잔여 체 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 의 구조적 성질을 조사한다.
• 비표준 해석 기법을 사용하여 $^\rho\mathbb{R}$ 와 하인 필드 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ 사이의 동형사상을 수립한다.
• 완전 포화 상태인 ${}^*\mathbb{R}$ 를 전제로, 잔여 체 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 가 ${}^*\mathbb{R}$ 와 동형임을 보이며, 비표준 실수 체를 점점 다가가는 수 체 내에 매장함을 보인다.
• 서로 다른 척도에 대응하는 모든 점점 다가가는 수 체가 동형임을 보이며, 이는 비선형 일반화된 함수 이론 응용에 있어 필수적이다.

제안 방법

• 가장자기 이론적 방법을 사용하여 $^\rho\mathbb{R}$ 와 하인 필드 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ 사이의 동형사상을 구성한다.
• 완전 포화된 비표준 확장 ${}^*\mathbb{R}$ 를 사용하여 포화성과 원소 동치성 등의 강력한 모델 이론적 성질을 확보한다.
• 잔여 체 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 를 ${}^\rho\mathbb{R}$ 내의 유한 원소의 링에서 무한소의 아이디얼을 모듈로하여 정의한다.
• ${}^*\mathbb{R}$ 에 대해 특수화 체인 $\{\mathcal{A}_\kappa : \kappa < \mu\}$ 을 도입하여 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 와 그 부분체의 구조를 분석한다.
• 부분체 $\mathcal{B}_\kappa = D_\kappa / K_\kappa$ 가 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 에 대해 특수화 체인을 이룬다는 것을 증명함으로써, 그 특수성과 포화성을 보장한다.
• 모델 이론적 전이 원리(transfer principles)를 사용하여, 완전 포화 조건 하에서 ${}^*\mathbb{R}$ 와 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 가 원소 동치이자 동형임을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $^\rho\mathbb{R}$ 는 그 잔여 체 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 위의 하인 필드로 표현될 수 있는가?
• RQ2 언제 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 가 ${}^*\mathbb{R}$ 와 동형이 되는가?
• RQ3 무한소 $\rho$ 의 선택에 관계없이 $^\rho\mathbb{R}$ 와 하인 필드 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ 사이의 동형사상이 성립하는가?
• RQ4 서로 다른 척도 $\rho$ 에 대응하는 점점 다가가는 수 체 $^\rho\mathbb{R}$ 는 모두 동형인가?
• RQ5 결과들은 ${}^*\mathbb{R}$ 의 완전 포화 모델이 아닌 경우에도 확장 가능한가?

주요 결과

• 완전 포화 상태일 때 잔여 체 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 는 ${}^*\mathbb{R}$ 와 동형이며, 이는 비표준 실수 체를 점점 다가가는 수 체계 내에 매장함을 의미한다.
• 모든 점점 다가가는 수 체 $^\rho\mathbb{R}$ 는 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ 와 동형이며, 이는 표준화된 하인 필드 표현을 수립한다.
• 양의 무한소 $\rho$ 의 선택에 관계없이 $^\rho\mathbb{R}$ 와 하인 필드 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ 사이의 동형사상이 성립한다.
• 서로 다른 척도에 대응하는 모든 점점 다가가는 수 체는 동형이며, 이는 일반화된 함수 이론의 이론에 있어 근본적인 중요성을 지닌다.
• ${}^*\mathbb{R}$ 가 완전 포화되지 않더라도(특수화 상태일 경우), 잔여 체 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 는 여전히 ${}^*\mathbb{R}$ 와 동형이며, 동형 결과는 그대로 유지된다.
• $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 와 ${}^*\mathbb{R}$ 의 기수는 동일하며, 양자리 모두 원소 동치이므로 강력한 모델 이론적 호환성이 보장된다.