[논문 리뷰] Hamilton-Jacobi Theorems for Regular Controlled Hamiltonian System and Its Reductions

Yuesheng Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 15.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 32인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정규 제어 하미르تون 시스템(RCH)과 그 대칭 축소에 대해 캐논ical 및 축소된 심플렉틱 형식을 사용하여 제1형과 제2형 하미르턴-자코비 정리들을 수립한다. 기하학적 하미르턴-자코비 이론을 RCH 및 제어된 자기장 하미르턴 시스템으로 일반화하고, RCH-동치 하에 해의 불변성을 증명하며, SO(3) 및 SE(3)의 일반화된 형태에서 축소된 강체 및 무거운 원판 시스템에 적용한다.

ABSTRACT

In this paper, we give precisely the geometric constraint conditions of canonical symplectic form and regular reduced symplectic forms for the dynamical vector fields of a regular controlled Hamiltonian (RCH) system and its regular reduced systems, which are called the Type I and Type II of Hamilton-Jacobi equations. At first, we first prove two types of Hamilton-Jacobi theorem for an RCH system on cotangent bundle of a configuration manifold, by using the canonical symplectic form and the dynamical vector field, which are the development of the two types of geometric version of Hamilton-Jacobi theorem for a Hamiltonian system given in Wang \cite{wa17}. Moreover, we also prove two types of Hamilton-Jacobi theorem for a controlled magnetic Hamiltonian (CMH) system by using the magnetic symplectic form and the magnetic Hamiltonian vector field. Secondly, we generalize the above results for a regular reducible RCH system with symmetry and momentum map, and prove two types of Hamilton-Jacobi theorems for the regular point reduced RCH system and the regular orbit reduced RCH system. Thirdly, we prove that the RCH-equivalence for the RCH system, and RpCH-equivalence and RoCH- equivalence for the regular reducible RCH systems with symmetries, leave the solutions of corresponding Hamilton-Jacobi equations invariant. Finally, as an application of the theoretical results, we show the Type I and Type II of Hamilton-Jacobi equations for the $R_p$-reduced controlled rigid body-rotor system and the $R_p$-reduced controlled heavy top-rotor system on the generalizations of rotation group SO(3) and Euclidean group SE(3), respectively. These researches reveal the deeply internal relationships of the geometrical structures of phase spaces, the dynamical vector fields and controls of the RCH system.

연구 동기 및 목표

• 정규 제어 하미르턴(RCH) 시스템에서 캐논ical 및 축소된 심플렉틱 형식에 대한 기하학적 제약 조건을 유도하기 위해.
• 역동적 벡터장과 심플렉틱 구조를 사용하여 코타angent 다발 위의 RCH 시스템에 대해 하미르턴-자코비 이론을 일반화하기 위해.
• 자기장 심플렉틱 형식과 하미르턴 벡터장들을 도입하여 제어된 자기장 하미르턴(CMH) 시스템으로 이론을 확장하기 위해.
• 대칭성과 운동량 사상과 함께 정규 점 축소 및 궤도 축소된 RCH 시스템에 대해 하미르턴-자코비 정리를 수립하기 위해.
• RCH-동치 및 그 대칭적 변형(RpCH 및 RoCH 동치) 하에 하미르턴-자코비 해가 불변함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 구성 다발의 코타angent 다발 위에서 캐논ical 심플렉틱 형식과 역동적 벡터장을 사용하여 제1형 및 제2형 하미르턴-자코비 방정식을 수립한다.
• 심플렉틱 기하학의 기하학적 프레임워크를 적용하여, 역동적 벡터장이 닫힌 1형식의 상(image)에 접하는 조건을 도출한다.
• 자기장 심플렉틱 형식과 자기장 하미르턴 벡터장을 통합하여 이론을 CMH 시스템으로 확장한다.
• 운동량 사상에 의한 대칭 축소를 활용하여 정규 점 축소 및 궤도 축소된 RCH 시스템을 구성한다.
• RCH-동치, RpCH-동치, RoCH-동치가 해당 하미르턴-자코비 방정식의 해를 유지함을 증명한다.
• 이론적 결과를 구체적 시스템에 적용한다: 일반화된 SO(3) 및 SE(3) 위에서의 R_p-축소된 제어 강체-로터 및 무거운 원판-로터 시스템.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RCH 시스템에서 캐논ical 심플렉틱 형식과 역동적 벡터장이 하미르턴-자코비 방정식을 만족하기 위한 기하학적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ2 제1형 및 제2형 하미르턴-자코비 정리는 어떻게 제어된 자기장 하미르턴 시스템으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 RCH-동치 및 그 대칭적 변형 하에 하미르턴-자코비 방정식의 해가 불변이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 대칭적 RCH 시스템에서 정규 점 축소 및 궤도 축소 하에 심플렉틱 구조와 역동적 벡터장은 어떻게 변환되는가?
• RQ5 R_p-축소된 제어 강체-로터 및 무거운 원판-로터 시스템에 대한 하미르턴-자코비 방정식의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 캐논ical 심플렉틱 형식과 역동적 벡터장을 사용하여 코타angent 다발 위의 RCH 시스템에 대해 두 종류의 하미르턴-자코비 정리를 수립한다.
• 자기장 심플렉틱 형식과 자기장 하미르턴 벡터장을 도입하여 이론을 제어된 자기장 하미르턴 시스템으로 일반화한다.
• 저자들은 대칭적 RCH 시스템에서 RCH-동치, RpCH-동치, RoCH-동치 하에 하미르턴-자코비 방정식의 해가 불변임을 증명한다.
• 일반화된 회전군 위에서 R_p-축소된 제어 강체-로터 시스템에 대해 제1형 및 제2형 하미르턴-자코비 방정식을 명시적으로 유도한다.
• 일반화된 유클리드 군 SE(3) 위에서 R_p-축소된 제어 무거운 원판-로터 시스템이 제안된 프레임워크 하에 하미르턴-자코비 방정식을 만족함을 보여준다.
• 결과는 RCH 시스템에서 위상공간의 구조, 역동적 벡터장, 제어 입력 간의 깊은 기하학적 관계를 드러낸다.