[논문 리뷰] Hamiltonian Algebroid Symmetries in W-gravity and Poisson sigma-model

A. Levin, Olshanetsky|arXiv (Cornell University)|2000. 10. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 기저 공간 위의 리 아르바이드를 코타angent 번들의 주 위상다발 위로 올리는 방식으로, 보편적 변환의 리 대수의 일반화인 하미르토니안 아르바이드를 도입한다. 이러한 아르바이드의 BRST 연산자는 껍질 필드에 대해 입방형임을 보이며, 리 대수의 경우를 일반화한다. 주요 결과로는 $W_3$-중력과 포아송 시그마 모형에 대한 BRST 구성이 있으며, 아르바이드 대칭의 차이형 상수 이론 유래가 제시된다.

ABSTRACT

Starting from a Lie algebroid ${\cal A}$ over a space V we lift its action to the canonical transformations on the principle affine bundle ${\cal R}$ over the cotangent bundle $T^*V$. Such lifts are classified by the first cohomology $H^1({\cal A})$. The resulting object is the Hamiltonian algebroid ${\cal A}^H$ over ${\cal R}$ with the anchor map from $\G({\cal A}^H)$ to Hamiltonians of canonical transformations. Hamiltonian algebroids generalize the Lie algebras of canonical transformations. We prove that the BRST operator for ${\cal A}^H$ is cubic in the ghost fields as in the Lie algebra case. To illustrate this construction we analyze two topological field theories. First, we define a Lie algebroid over the space $V_3$ of $\SL$-opers on a Riemann curve $\Si_{g,n}$ of genus g with n marked points. The sections of this algebroid are the second order differential operators on $\Si_{g,n}$. The algebroid is lifted to the Hamiltonian algebroid over the phase space of $W_3$-gravity. We describe the BRST operator leading to the moduli space of $W_3$-gravity. In accordance with the general construction the BRST operator is cubic in the ghost fields. We present the Chern-Simons explanation of our results. The second example is the Hamiltonian algebroid structure in the Poisson sigma-model invoked by Cattaneo and Felder to describe the Kontsevich deformation quantization formula. The hamiltonian description of the Poisson sigma-model leads to the Lie algebraic form of the BRST operator.

연구 동기 및 목표

• 기저 공간 위의 리 아르바이드를 위상공간으로 올려 하미르토니안 아르바이드로 일반화함으로써 보편적 변환의 리 대수를 일반화한다.
• 리 아르바이드의 첫 번째 코homology 군 $H^1({\cal A})$를 사용하여 이러한 올림을 분류한다.
• 하미르토니안 아르바이드에 대해 껍질 필드에 입방형 의존성을 가지는 BRST 연산자 $\Omega$를 구성함으로써 리 대수의 구조를 확장한다.
• $W_3$-중력과 포아송 시그마 모형에 이 틀을 적용하여 BRST 구조를 유도하고 변형 양자화와 연결한다.
• $W_3$-중력에서 아르바이드 대칭의 기원을 차이형 상수 이론적 접근으로 유도한다.

제안 방법

• 기저 공간 $V$ 위의 리 아르바이드 ${\cal A}$를 $T^*V$ 위의 주 위상다발 ${\cal R}$ 위의 하미르토니안 아르바이드 ${\cal A}^H$로 올린다.
• 리 아르바이드의 첫 번째 코homology $H^1({\cal A})$를 사용하여 아르바이드 작용의 가능한 올림을 분류한다.
• 광물 필드 $\eta_j$에 대해 입방형 의존성을 가지는 껍질 필드에서의 랭크-1 연산자로 BRST 연산자 $\Omega$를 구성한다.
• $W_3$-중력에 BRST 체계를 적용하며, 기저 공간으로 ${\rm SL}(3,{\bf C})$-oper를 사용하고, 분할을 제2차 미분 연산자로 간주한다.
• 제약 조건과 쌍대 연산자를 분석하여 포아송 시그마 모형에서 하미르토니안 아르바이드의 구조를 도출하고, BRST 형태와의 일관성을 보인다.
• 두 단계의 게이지 고정을 사용한 차이형 상수 이론을 통해 $W_3$-중력에서 아르바이드 대칭의 기원을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 아르바이드 대칭은 어떻게 코타angent 번들의 주 위상다발 위의 하미르토니안 작용으로 올릴 수 있는가?
• RQ2 $H^1({\cal A})$는 이러한 올림을 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 하미르토니안 아르바이드의 BRST 연산자는 리 대수의 경우에서 관찰된 입방형 껍질 필드의 구조를 유지하는가?
• RQ4 하미르토니안 아르바이드 틀은 $W_3$-중력과 포아송 시그마 모형에 대해 일관된 BRST 양자화를 보장하는가?
• RQ5 $W_3$-중력에서 아르바이드 대칭의 차이형 상수 이론 기원은 무엇인가?

주요 결과

• 하미르토니안 아르바이드 ${\cal A}^H$의 BRST 연산자는 껍질 필드에 대해 입방형이며, 리 대수 이론에서 관찰된 구조를 유지한다.
• 리 아르바이드에서 하미르토니안 아르바이드로의 올림은 첫 번째 코homology 군 $H^1({\cal A})$로 분류된다.
• $W_3$-중력의 경우 기저 공간은 리만 곡면 $\Sigma_{g,n}$ 위의 ${\rm SL}(3,{\bf C})$-oper의 공간이며, 분할은 제2차 미분 연산자로 주어진다.
• 위상공간의 심플렉틱 몫은 ${\cal W}_3$-기하학을 유도하며, 일반화된 복소기하학의 모듈리 공간과 스핀-2 및 스핀-3 필드를 통합한다.
• 포아송 시그마 모형에서 하미르토니안 아르바이드의 구조는 리 대수 형태의 BRST 연산자를 이끌어내며, 카타네오와 펠러의 변형 양자화 프레임워크와 일관성을 보인다.
• 차이형 상수 이론은 $W_3$-중력에서 아르바이드 대칭의 기원을 설명하는 두 단계의 게이지 고정을 제공한다.