[논문 리뷰] Hamiltonian Analysis of $f(Q)$ Gravity and the Failure of the Dirac-Bergmann Algorithm for Teleparallel Theories of Gravity

Fabio D’Ambrosio, Lavinia Heisenberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 04.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론과 관련된 텔레파라렐 이론에서 디라크-버그만 제약 분석이 기본 가정, 특히 운동에너지 행렬의 가역성에 실패함으로써 성립하지 않음을 보여준다. 비선형 장 재정의 방법을 통해 주요 운동에너지 행렬을 대각화하는 접근법을 사용하여, 저자들은 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론이 최대 일곱 개인 물리적 자유도를 가지며, 이는 이전의 여덟 개인 주장과 모순되며, 비메트릭 중력 이론에 대한 표준 해밀토니안 방법의 심각한 결함을 드러낸다.

ABSTRACT

In recent years, $f(Q)$ gravity has enjoyed considerable attention in the literature and important results have been obtained. However, the question of how many physical degrees of freedom the theory propagates -- and how this number may depend on the form of the function $f$ -- has not been answered satisfactorily. In this article we show that a Hamiltonian analysis based on the Dirac-Bergmann algorithm -- one of the standard methods to address this type of question -- fails. We isolate the source of the failure, show that other commonly considered teleparallel theories of gravity are affected by the same problem, and we point out that the number of degrees of freedom obtained in Phys. Rev. D 106 no. 4, (2022) by K. Hu, T. Katsuragawa, and T. Qui (namely eight), based on the Dirac-Bergmann algorithm, is wrong. Using a different approach, we show that the upper bound on the degrees of freedom is seven. Finally, we propose a more promising strategy for settling this important question.

연구 동기 및 목표

• $f(\mathbb{Q})$ 중력에서 물리적 자유도 수에 대한 오랫동안 지속된 암시를 해결하기 위해.
• 비메트릭성 또는 토크널리티를 기반으로 하는 텔레파라렐 이론에서 디라크-버그만 알고리즘의 실패를 특정하기 위해.
• Hu 등(2022)의 이전 연구에서 제기한 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론에서 여덟 개인 물리적 자유도에 대한 잘못된 주장의 수정을 위해.
• 고차 도함수를 포함하는 비메트릭 중력 이론에서 자유도 수를 세는 데 있어 신뢰할 수 있는 대안 방법을 개발하기 위해.
• 표준 디라크-버그만 절차의 함정을 피함으로써 텔레파라렐 중력에서 해밀토니안 분석을 위한 더 신뢰할 수 있는 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 디라크-버그만 알고리즘의 일반화된 형태를 사용하여 $f(\mathbb{Q})$ 중력의 해밀토니안 구조를 분석하고, 그 가정이 어디에서 붕괴되는지 규명한다.
• 실패의 원인이 운동에너지 행렬 $\mathcal{K}$ 가 공간 도함수 혼합 행렬 $\mathcal{M}^{(i)}$ 의 존재로 인해 가역성이 없기 때문임을 밝힌다.
• 비선형 장 재정의를 통해 주요 운동에너지 행렬을 대각화하는 새로운 방법을 제안하며, 이로써 $\mathcal{M}^{(i)}$ 행렬을 제거하고 가역성을 복원한다.
• 이 방법은 라그랑지안의 운동에너지 및 도함수 항에서 대칭적인 주요 행렬을 구성함에 기반하며, 이를 대각화하여 장들을 분리시킨다.
• 그 후, 대각화된 운동에너지 행렬의 영이 아닌 고유값의 수를 세어 물리적 자유도 수를 결정한다.
• 이 방법은 비메트릭성 또는 토크널리티를 기반으로 하는 다른 텔레파라렐 이론으로 일반화되어, 유사한 도함수 구조를 가진 이론들에도 동일한 실패 메커니즘이 적용됨을 보여준다.

Figure 1: Each primary sector (first column) is defined by the vanishing of certain combinations of the parameters $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ , $c_{4}$ , and $c_{5}$ (columns two through six). For brevity, and following DAmbrosio:2020b , we have defined $\tilde{c}\coloneqq c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}+c

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 표준 디라크-버그만 알고리즘이 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론과 관련된 텔레파라렐 이론에서 실패하는가?
• RQ2 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론에서 물리적 자유도의 정확한 수는 얼마이며, 이는 함수 $f$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 비선형으로 혼합된 이阶 도함수 시간 및 공간 도함수를 포함하는 이론에서 일관된 해밀토니안 분석을 수행할 수 있는가?
• RQ4 Hu 등(2022)이 제기한 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론에서 여덟 개인 물리적 자유도의 주장은 타당한가? 만약 그렇지 않다면 올바른 상한은 무엇인가?
• RQ5 이러한 이론들에서 디라크-버그만 알고리즘의 적용 가능성을 복원하기 위해 체계적인 장 재정의 전략을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 디라크-버그만 알고리즘이 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론에서 실패하는 이유는 운동에너지 행렬 $\mathcal{K}$ 가 비트리비얼한 공간 도함수 혼합 행렬 $\mathcal{M}^{(i)}$ 가 존재함으로써 가역성이 없기 때문이다.
• Hu 등(2022)의 이전 연구에서 제기한 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론에서 여덟 개인 물리적 자유도의 주장은 알고리즘의 실패로 인해 잘못되었다.
• 비선형 장 재정의를 통해 문제의 $\mathcal{M}^{(i)}$ 항을 제거할 수 있는 주요 운동에너지 행렬을 구성하였다.
• 대각화 후, 물리적 자유도 수는 영이 아닌 고유값의 수를 세어 계산되며, 이로써 상한이 일곱으로 도출된다.
• 이 실패 메커니즘은 $f(\mathbb{Q})$ 중력 이론에 국한되지 않으며, 유사한 도함수 구조를 가진 비메트릭성 또는 토크널리티 기반의 모든 텔레파라렐 이론에 영향을 미친다.
• 제안된 방법은 표준 디라크-버그만 방법이 실패하는 고차 도함수를 포함하는 비메트릭 중력 이론에서 더 신뢰할 수 있는 해밀토니안 분석을 위한 보다 신뢰할 수 있는 대안을 제공한다.

Figure 2: Each primary sector (first column) is defined by the vanishing of certain parameter combinations (columns two through five). The vanishing of one or more than one of these parameter combinations corresponds to the appearance of one or more than one primary constraints. The number of indepe