[논문 리뷰] Hamiltonian decomposition and verifying vertex adjacency in 1-skeleton of the traveling salesperson polytope by variable neighborhood search

Andrei V. Nikolaev, Anna Kozlova|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 14.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 39인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭 및 비대칭 TSP 다면체의 1-스켈레톤에서 정점의 비접속성을 검증하는 데 사용되는 4-정규 다중그래프에서 해밀턴 분해 문제를 해결하기 위해 일반 변수 이웃 탐색(GVNS) 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 사이클 커버 탐지를 완벽한 매칭으로 환원하고, 반복적인 이웃 흔들기와 강하를 수행하여 이전의 시뮬레이티드 어닐링 방법보다 높은 성공률과 속도 향상을 달성한다. 특히 피라미드형 투어에서는 무작위로 생성된 경우 100%, 방향성 있는 경우 94.4%의 인스턴스를 해결하였다.

ABSTRACT

We consider a Hamiltonian decomposition problem of partitioning a regular graph into edge-disjoint Hamiltonian cycles. A sufficient condition for vertex adjacency in the 1-skeleton of the traveling salesperson polytope can be formulated as the Hamiltonian decomposition problem in a 4-regular multigraph. We introduce a heuristic general variable neighborhood search algorithm for this problem based on finding a vertex-disjoint cycle cover of the multigraph through reduction to perfect matching and several cycle merging operations. The algorithm has a one-sided error: the answer "not adjacent" is always correct, and was tested on random directed and undirected Hamiltonian cycles and on pyramidal tours.

연구 동기 및 목표

• 두 해밀턴 사이클의 합집합에서 유도된 4-정규 다중그래프에서 해밀턴 분해 문제를 해결하기 위한 휴리스틱 알고리즘을 개발하는 것.
• 이 분해를 이용해 기존의 충분조건을 활용하여 TSP 및 ATSP 다면체의 1-스켈레톤에서 정점의 비접속성을 검증하는 것.
• 무작위 및 방향성 그래프에 대해 이전의 시뮬레이티드 어닐링 방법에 비해 성공률과 계산 효율성 측면에서 향상된 성능을 달성하는 것.
• 비접속성이 구성에 의해 보장되는 합성 피라미드형 투어 인스턴스에서의 성능을 평가하는 것.

제안 방법

• 세 가지 서로 다른 이웃 구조를 사용하는 일반 변수 이웃 탐색(GVNS) 메타휴리스틱을 사용하여 해를 탐색한다.
• 문제를 4-정규 다중그래프에서 정점을 서로 분리한 사이클 커버를 찾는 것으로 모델링하고, 기법을 통해 기존 그래프로의 변환을 통해 완벽한 매칭 문제로 환원한다.
• 무방향 그래프의 경우, 각 정점은 K4,2 기법으로 대체되어 사이클 커버 문제를 유도된 그래프에서의 완벽한 매칭 문제로 변환한다.
• 방향성 그래프의 경우, 유사한 기법 기반 변환을 적용하여 2-진출, 2-진입 사이클 커버를 완벽한 매칭으로 모델링한다.
• 변수 이웃 강하(VND)를 사용한 반복적인 이웃 강하 탐색을 수행하며, 두 가지 순서를 사용한다: VND-12(먼저 이웃 1, 그 다음 이웃 2) 및 VND-21(먼저 이웃 2, 그 다음 이웃 1), 이는 국소 탐색 효율성을 향상시킨다.
• 한쪽 오류를 보장한다: 알고리즘이 '접속하지 않음'을 반환하면 항상 정확한 결과이며, 그렇지 않으면 정점들은 '가능성이 높게 접속되어 있음'이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 휴리스틱 GVNS 알고리즘이 두 해밀턴 사이클에서 유도된 4-정규 다중그래프에서 해밀턴 분해 문제를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 TSP 및 ATSP 다면체의 1-스켈레톤에서 정점 비접속성 테스트에 있어 GVNS 알고리즘은 이전의 시뮬레이티드 어닐링 방법에 비해 성공률과 실행 시간 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 비접속성이 구성에 의해 보장되는 합성 인스턴스인 피라미드형 투어에서 알고리즘의 성공률은 어느 정도인가?
• RQ4 VND에서 이웃 탐색 순서가 성능에 상당한 영향을 미치는가? 어떤 순서가 더 좋은 결과를 낳는가?

주요 결과

• 무방향 무작위 해밀턴 사이클에 대해 GVNS는 1,000개의 인스턴스 중 203개를 해결했으며, 시뮬레이티드 어닐링보다 유의미하게 뛰어나며, McNemar의 검정을 통한 통계적 유의성(p < 1e-6)을 보였다.
• 방향성 무작위 사이클에 대해 GVNS는 203개의 인스턴스를 해결했고, SA는 157개를 해결했으며, VND-12의 경우 평균적으로 SA보다 5배 빠른 성능을 보였다.
• 무방향 피라미드형 투어에 대해 GVNS는 시간 제한 내에 1,000개의 인스턴스를 모두 해결했고, SA는 9개만 해결하여 뚜렷한 성능 격차를 보였다.
• 방향성 피라미드형 투어에 대해 GVNS는 1,000개 중 944개의 인스턴스를 해결했으며, VND-12는 483개, VND-21은 410개를 해결하여 더 큰 인스턴스에서도 뛰어난 성능을 보였다.
• 무방향 그래프에서는 VND-12가 VND-21보다 평균 6배 빠르고, 방향성 그래프에서는 10배 빠르며, 이는 이웃 탐색 순서가 효율성에 상당한 영향을 미친다는 것을 시사한다.
• 알고리즘의 한쪽 오류 보장은 '접속하지 않음'을 보고할 경우 항상 정확한 결과를 보장하므로, 다면체 조합론에서 비접속성 검증에 신뢰할 수 있다.