[논문 리뷰] Hamiltonian dynamics of extended objects: Regge-Teitelboim model

Riccardo Capovilla, Alberto Escalante외 2명|arXiv (Cornell University)|2006. 03. 30.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 위상공간 확장을 통해 '가짜' 고차 도함수 이론으로 간주함으로써, 상대론적 확장 물체의 Regge-Teitelboim 모델에 대해 새로운 다항식 해밀토니안 형식을 제안한다. 이 방법은 속도와 그 쌍대 운동량을 보조 변수로 도입하여, 작용이 가속도에 대해 선형인데도 불구하고 위상공간 변수에 대해 다항식 해밀토니안을 가능하게 한다. 주요 기여는 완전한 제약 조건 집합(일차 및 이차 제약 조건 포함)을 제공함으로써 해밀턴 체계의 정의를 가능하게 하고, 물리적 자유도가 각 법선 방향당 하나임을 드러내며, 이는 Nambu-Goto 모델과 일치한다.

ABSTRACT

We consider the Regge-Teitelboim model for a relativistic extended object embedded in a fixed background Minkowski spacetime, in which the dynamics is determined by an action proportional to the integral of the scalar curvature of the worldvolume spanned by the object in its evolution. In appearance, this action resembles the Einstein-Hilbert action for vacuum General Relativity: the equations of motion for both are second order; the difference is that here the dynamical variables are not the metric, but the embedding functions of the worldvolume. We provide a novel Hamiltonian formulation for this model. The Lagrangian, like that of General Relativity, is linear in the acceleration of the extended object. As such, the model is not a genuine higher derivative theory, a fact reflected in the order of the equations of motion. Nevertheless, as we will show, it is possible as well as useful to treat it as a `fake' higher derivative system, enlarging the phase space appropriately. The corresponding Hamiltonian on this phase space is constructed: it is a polynomial. The complete set of constraints on the phase space is identified. The fact that the equations of motion are of second order in derivatives of the field variables manifests itself in the Hamiltonian formulation through the appearance of additional constraints, both primary and secondary. These new constraints are second class. In this formulation, the Lagrange multipliers implementing the primary constraints get identified as accelerations. This is a generic feature of any Lagrangian linear in the acceleration possessing reparametrization invariance.

연구 동기 및 목표

• 기존의 비다항식 해밀토니안 형식의 한계를 극복하고, Regge-Teitelboim 모델에 대해 다항식 해밀토니안을 도출하는 해밀토니안 형식을 개발하는 것.
• 가속도에 대해 선형인데 진정한 고차 도함수 이론이 아닌 이론에 대해, 위상공간을 확장하여 속도와 그 쌍대 운동량을 포함함으로써 해밀턴 체계를 수립하는 데 도전하는 것.
• 확장된 위상공간 내에서의 전반적인 제약 조건 집합(초기 제약, 2차 제약, 일차 제약, 이차 제약 포함)을 식별하고 분류하는 것.
• 명확한 다항식 해밀토니안과 일관된 제약 대수학을 제공함으로써 모델의 해밀턴 양자화를 가능하게 하는 것.
• 다른 동역학 기원에도 불구하고, 물리적 자유도가 각 법선 방향당 하나임을 보여주며, Nambu-Goto 모델과 일치함을 입증하는 것.

제안 방법

• 위상공간을 임베딩 함수 $X$ 와 그 쌍대 운동량 $P$ 외에도 속도 $\dot{X}$ 와 그 쌍대 운동량 $p$ 를 포함하도록 확장하여, 이 이론이 고차 도함수 이론인 것처럼 간주한다.
• 다양한 위상공간 변수에 대해 다항식 기능으로 표현되는 해밀토니안을 구성하며, 이는 가속도에 대한 선형 의존성을 고려한 수정된 라그랑주 변환을 통해 유도된다.
• 라그랑주 변환을 통해 초기 제약 조건이 도입되며, 라그랑주 승수는 가속도 $\ddot{X}$ 로 식별되며, 이는 작용의 선형 가속도 의존성 반영한다.
• 초기 제약 조건의 시간 진화에 대한 일관성에서 2차 제약 조건이 유도되며, 상세한 분석을 통해 일차 제약 조건과 이차 제약 조건이 모두 존재하는 것으로 나타난다.
• 제약 대수학은 $\{\dot{X}, X_A, n^i\}$ 기저에 대한 제약 조건의 투영을 통해 분석되며, $\{\mathcal{S}_0, \mathcal{S}_A, \mathcal{C}_0, \mathcal{C}_A\}$ 는 일차 제약 조건으로, $\{\mathcal{S}_i, \mathcal{C}_i\}$ 는 이차 제약 조건으로 나타난다.
• 이차 제약 조건을 다루기 위해 디르락 알고리즘이 적용되어 일관성을 확보하고 물리적 자유도 수를 세는 데 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가속도에 대해 선형인데 진정한 고차 도함수 이론이 아닌 Regge-Teitelboim 모델에 대해 다항식 해밀토니안 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 확장된 위상공간 형식에서 초기 제약, 2차 제약, 일차 제약, 이차 제약 조건은 어떻게 유도되고 어떻게 구성되는가?
• RQ3 자유도의 물리적 내용은 무엇이며, Nambu-Goto 모델과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 해밀토니안 형식에서의 라그랑주 승수는 브레인의 물리적 가속도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 일관된 다항식 해밀토니안과 제약 대수학을 통해 RT 모델의 해밀턴 구조를 양자화에 적합하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 해밀토니안은 확장된 위상공간 변수에 대해 명시적으로 다항식으로 표현되며, 이는 이전의 비다항식 해밀토니안을 도출하는 형식보다 중대한 개선이다.
• 초기 제약 조건은 $P \cdot \dot{X} = 0$ 과 $P \cdot X_A = 0$ 로 식별되며, 가속도 의존성으로 인해 추가 제약 조건 $P \cdot n^i + \frac{\sqrt{h}}{N}(n^i \cdot \mathcal{D}_A \mathcal{D}^A X) = 0$ 가 유도된다.
• 해밀토니안의 라그랑주 승수 $\lambda$ 는 가속도 $\ddot{X}$ 와 동일시되며, 이는 고차 도함수 유사 형식임에도 불구하고 이 이론이 2차 이론임을 확인한다.
• 제약 대수학은 일차 제약 조건과 이차 제약 조건을 모두 포함하며, $\{\mathcal{S}_0, \mathcal{S}_A, \mathcal{C}_0, \mathcal{C}_A\}$ 는 일차 제약 조건이고, $\{\mathcal{S}_i, \mathcal{C}_i\}$ 는 이차 제약 조건이다.
• 물리적 자유도 수 계산 결과는 법선 방향당 $D - d - 1$ 개로, Nambu-Goto 모델과 일치하며, 각 법선 방향당 하나의 물리적 자유도를 확인한다.
• 해밀턴 방정식은 운동 방정식을 재현하며, $\partial_t \dot{X} = \ddot{X} = \lambda$ 를 통해 승수가 가속도로 식별되고, 운동량 제약 조건은 $p \cdot \dot{X} = 0$ 의 해밀턴 형태로 복원된다.