[논문 리뷰] Hamiltonian formulation of teleparallel theories of gravity in the time gauge

J. W. Maluf, A. A. Sousa|ArXiv.org|2000. 02. 16.

Geophysics and Gravity Measurements참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 시간 게이지에서 일반 텔레파라렐 이론의 하미르토니안 형식을 유도하며, 비틀림에 대해 2차인 이론들에 대해 분석한다. 그 결과, 첫 번째 계급의 제약 조건을 갖는 일관된 하미르토니안을 제공하는 것은 오직 한 개의 매개수로 구성된 하위가로 제한됨을 보여준다. 뉴턴 근사에서 이 이론은 유일하게 텔레파라렐 일반 상대성 이론(TEGR)으로 줄어들며, 잘 정의된 역학과 에너지를 갖는 하미르토니안 프레임워크로서의 타당성을 확인한다.

ABSTRACT

We consider the most general class of teleparallel theories of gravity quadratic in the torsion tensor, and carry out a detailed investigation of its Hamiltonian formulation in the time gauge. Such general class is given by a three-parameter family of theories. A consistent implementation of the Legendre transform reduces the original theory to a one-parameter theory determined in terms of first class constraints. The free parameter is fixed by requiring the Newtonian limit. The resulting theory is the teleparallel equivalent of general relativity.

연구 동기 및 목표

• 시간 게이지를 사용하여 비틀림에 대해 2차인 가장 일반적인 텔레파라렐 중력 이론의 하미르토니안 형식을 유도하기.
• 이러한 이론들에 대한 고차 비틀림 항이 포함된 경우에 발생하는 레지오르드 변환의 비일관성을 해결하기.
• 3매개수 가닥에서 첫 번째 계급의 제약 조건을 갖는 일관된 집합을 제공하는 오직 하나의 이론을 식별하기.
• 물리적 일관성을 확보하기 위해 뉴턴 근사를 통해 자유 매개수를 고정하기.
• 결과로 도출된 이론이 텔레파라렐 일반 상대성 이론(TEGR)임을 확인하기.

제안 방법

• 저자들은 비틀림 텐서에 대해 2차인 3매개수 가닥의 텔레파라렐 라그랑지안에서 출발하며, 계수 $ c_1, c_2, c_3 $ 로 매개수화된다.
• 시간 게이지에서 캐논리컬 분석을 수행하며, $ e^a_0 = 0 $ 를 고정함으로써 제약 조건의 구조를 단순화한다.
• 라그랑지안에 레지오르드 변환을 적용하여 캐논리컬 운동량을 식별하고 하미르토니안 밀도를 유도한다.
• 제약 대수를 분석하고, 제약 조건이 첫 번째 계급임을 보장하는 조건을 식별함으로써 일관된 초기값 문제를 확보한다.
• 뉴턴 근사를 도입하여 자유 매개수를 유일하게 고정함으로써 3매개수 가닥을 1매개수 이론으로 줄인다.
• 결과로 도출된 이론이 표준 $ -k(e/4)T^{abc}T_{abc} $ 라그랑지안 형태를 갖는 텔레파라렐 일반 상대성 이론(TEGR)과 일치함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3매개수 가닥의 텔레파라렐 중력 이론에서 어떤 조건이 첫 번째 계급의 제약 조건을 갖는 일관된 하미르토니안 형식을 도출하는가?
• RQ2 고차 비틀림 항이 존재할 경우, 레지오르드 변환은 어떻게 행동하며, 어떤 제약 조건을 부과하는가?
• RQ3 비틀림에 대해 2차인 3매개수 가닥의 이론들 중에서 어떤 물리적 기준이 오직 하나의 이론만을 유일하게 선택하는가?
• RQ4 결과로 도출된 이론은 올바른 뉴턴 근사와 ADM 에너지를 재현하는가?
• RQ5 텔레파라렐 일반 상대성 이론은 이 클래스 내에서 오직 하나의 타당한 이론인가?

주요 결과

• 레지오르드 변환은 원래의 3매개수 가닥의 텔레파라렐 이론을 첫 번째 계급의 제약 조건을 갖는 1매개수 가닥의 이론으로 줄이며, 이는 일관된 하미르토니안 역학을 보장한다.
• 제약 대수가 $ c_1 = 2c_3 $ 와 $ c_2 = -c_3 $ 를 만족할 때에만 닫히며, 이는 잘 정의된 초기값 문제를 위해 필수적이다.
• 뉴턴 근사를 도입함으로써 남은 자유 매개수를 유일하게 고정하여, 텔레파라렐 일반 상대성 이론(TEGR)이 오직 하나의 타당한 이론으로 선택됨을 보여준다.
• 결과로 도출된 하미르토니안 밀도는 표준 TEGR 형태와 일치한다: $ ilde{H} = -k(e/4)T^{abc}T_{abc} $, 여기서 $ k = 1/(16\tau G) $.
• 점근적 조건 $ e_{(i)j} \approx \eta_{ij} + \frac{1}{2}h_{ij}/r $ 는 스칼라 밀도 $ \partial_i(eT^i) $ 에서 정확한 ADM 에너지를 추출할 수 있음을 보장한다.
• 중력 에너지를 모순 없이 정의하기 위해 기준 공간 삼중체(여기서 $ T_{(i)jk} = 0 $) 가 필요하며, 이는 TEGR에서 이 조건의 필수성을 확인한다.