[논문 리뷰] Hamiltonian formulation of the $1+1$-dimensional $ϕ^4$ theory in a momentum-space Daubechies wavelet basis

Mrinmoy Basak, Debsubhra Chakraborty외 2명|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 26.

Quantum, superfluid, helium dynamics인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 운동량 공간 Daubechies 웨이블릿 기저 해밀토니안 프레임워크를 개발하여 1+1D φ^4 이론을 비섭동적으로 연구하고, 에너지 스펙트럼을 계산하며 대칭성 파괴에 대한 임계 결합을 위치시킨다.

ABSTRACT

We apply the wavelet formalism of quantum field theory to investigate nonperturbative dynamics within the Hamiltonian framework. In particular, we employ Daubechies wavelets in momentum space, whose basis functions are labeled by resolution and translation indices, providing a natural nonperturbative truncation of both infrared and ultraviolet truncation of quantum field theories. As an application, we compute the energy spectra of a free scalar field theory and the interacting $1+1$-dimensional $ϕ^4$ theory. This approach successfully reproduces the well-known strong-coupling phase transition in the $m^2 > 0$ regime. We find that the extracted critical coupling systematically converges toward its established value as the momentum resolution is increased, demonstrating the effectiveness of the wavelet-based Hamiltonian formulation for nonperturbative field-theoretic calculations.

연구 동기 및 목표

• 1+1 차원에서 φ^4 이론에 대한 해밀토니안 기반의 비섭동적 접근의 동기를 부여한다.
• 체계적 IR/UV 잘림을 구현하기 위한 운동량 공간 Daubechies 웨이블릿 기저를 도입한다.
• 웨이블릿 프레임워크 내에서 자유 이론과 상호작용 이론의 에너지 스펙트럼 계산을 시연한다.
• 상승하는 운동량 해상도에 따른 임계 결합의 수렴을 보인다.

제안 방법

• 스칼라장과 그들의 모멘텀을 해상도 k와 평행이동 m으로 표기된 Daubechies 웨이블릿 기저로 표현한다.
• 해밀토니안(자유 및 φ^4 상호작용)을 이 기저에서 웨이블릿 기반의 Fock 공간을 구성해 표현한다.
• 웨이블릿 모드의 중첩적 적분(Γ^k 및 E^k 항)을 통해 해밀토니안 행렬 요소를 계산하고 유한 행렬을 대각화한다.
• 주기 경계 조건을 사용하여 모멘텀 및 에너지 기대치를 제한하는 잘림을 구현한다.
• 해상도 k가 증가함에 따라 에너지 고유값의 수렴을 분석하고 m^2>0에서의 상전이를 식별한다.

Figure 1: The scaling functions for (a) different values of resolution and (b) different values of translation index are presented.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동량 공간의 Daubechies 웨이블릿 기저가 φ^4 이론에 대해 제어된 비섭동적 잘림을 제공할 수 있는가?
• RQ2 운동량 해상도가 증가함에 따라 에너지 스펙트럼과 임계 결합이 알려진 값으로 수렴하는가?
• RQ3 웨이블릿 기반 해밀토니안이 1+1 차원에서의 강한 결합 대칭 파괴 상을 어떻게 재현하는가?

주요 결과

람다	E0(k=0)	E1(k=0)	E2(k=0)	E3(k=0)	E0(k=1)	E1(k=1)	E2(k=1)	E3(k=1)
0	0.00000	1.04351	1.41908	1.45087	0.00000	1.01149	1.12243	1.13259
10	-0.00058	1.04111	1.41720	1.44918	-0.00115	1.00844	1.11967	1.13001
20	-0.00231	1.03413	1.41143	1.44426	-0.00464	0.99923	1.11115	1.12239
30	-0.00522	1.02256	1.40120	1.43623	-0.01056	0.98323	1.09579	1.10984
40	-0.00940	1.00588	1.38506	1.42525	-0.01919	0.95863	1.07106	1.09226
50	-0.01500	0.98277	1.35983	1.41150	-0.03105	0.92062	1.03085	1.06864
60	-0.02231	0.95024	1.31787	1.39504	-0.04740	0.85115	0.95189	1.03579
70	-0.03186	0.90016	1.23400	1.37542	-0.07340	0.58345	0.62606	0.70603
80	-0.04494	0.80139	1.01208	1.27131	-0.27996	-0.12752	-0.00315	0.03254
90	-0.06562	0.47094	0.63609	0.79445	-1.13289	-0.88706	-0.78133	-0.59739
100	-0.12726	-0.11981	0.17024	0.24067	-2.03649	-1.74348	-1.60327	-1.38075
110	-0.78552	-0.46776	-0.40604	-0.25310	-2.95791	-2.62094	-2.44741	-2.18812
120	-1.46849	-1.08937	-1.02572	-0.80018	-3.89041	-3.51085	-3.30540	-3.00996
130	-2.16576	-1.74832	-1.66658	-1.37816	-4.83051	-4.40916	-4.17293	-3.84155
140	-2.87248	-2.42234	-2.32014	-1.96964	-5.77612	-5.31350	-5.04738	-4.68012
150	-3.58589	-3.10588	-2.98226	-2.56988	-6.72585	-6.22233	-5.92707	-5.52393

• 웨이블릿 기반 해밀토니안은 m^2>0 구간에서 강한 결합 대칭 파괴 상을 재현한다.
• 해상도 증가에 따라 임계 결합 λ_c/24의 경향이 확립된 값으로 수렴한다( k=0에서 λ_c≈100, k=1에서 λ_c≈79; g_c는 각각 약 4.17과 3.29 근처).
• 자유 경우(테이블 2)에서 모듈 모멘텀 해상도 증가에 따라 고유값이 정확한 값에 수렴한다.
• 기저에 의한 정상 순서 vacuum 참조 효과로 해를 음의 발산하는 기저에너지의 경향이 나타난다(테이블 3 참고).
• 프레임워크는 Daubechies 지지로 인해 상호 모드 간의 유한 범위 홉핑을 보이며, 국소성을 보존하면서 자유도를 압축한다.

Figure 2: The wavelet functions for (a) different values of resolution and (b) different values of translation index are presented.