[논문 리뷰] Hamiltonian gauge theory with corners: constraint reduction and flux superselection

Aldo Riello, Michele Schiavina|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모서리가 있는 시공간에서 게이지 이론에 대한 하밀토니안 프레임워크를 개발하며, 두 단계의 축소를 도입한다: 첫째, 약속 게이지 군에 대한 운동량 맵을 통한 제약 조건 축소; 둘째, 잔류 플럭스 게이지 군에 의한 플럭스 초선택. 핵심 결과는 축소된 위상공간이 플럭스 초선택 섹터 위에 피브린게 되어 있는 부분 파울슨 다양체라는 점으로, 양자 초선택 규칙의 고전적 대응을 제공한다.

ABSTRACT

We study gauge theories on spacetime manifolds with a codimension-$1$ submanifold with boundary. We characterise the reduced phase space of the theory whenever it is described by a local momentum map for the action of the gauge group $\mathcal{G}$, by means of Fréchet reduction by stages. The momentum map decomposes into a bulk term called constraint map, defining a coisotropic constraint set, and a boundary term called flux map. In the first stage, constraint reduction, the constraint set is the zero of a momentum map for a normal subgroup $\mathcal{G}_\circ\subset\mathcal{G}$, called constraint gauge group. In the second stage, flux superselection, the flux map is the momentum map for the residual action of the flux gauge group $\underline{\mathcal{G}}\doteq\mathcal{G}/\mathcal{G}_\circ$, which also controls equivariance. The reduced phase space of the theory, when smooth, is then only a partial Poisson manifold $\underline{\underline{\mathcal{C}}}\simeq \underline{\mathcal{C}}/\underline{\mathcal{G}}$. Its symplectic leaves are called \emph{flux superselection sectors}, for they provide a classical analogue of, and a road map to, the phenomenon of quantum superselection. To corners, we further assign a symplectic Lie algebroid over a Poisson manifold, $\mathsf{A}_{\partial} o \mathcal{P}_{\partial}$, and show how on-shell configurations $\mathcal{C}_{\partial}\subset\mathcal{P}_{\partial}$ are also Poisson. Both $\mathcal{C}_{\partial}$ and $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ fibrate over a common space of superselections, labeling the Casimirs of both Poisson structures. We showcase the formalism by explicitly working out the first and second stage reductions for a broad class of Yang--Mills theories, where $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ is found to be a Weinstein space, and discuss further applications to topological theories.

연구 동기 및 목표

• 대칭 구조를 사용하여 경계가 있는 시공간(모서리)에서 하밀토니안 게이지 이론을 심플렉틱 축소 기법을 통해 수립하기.
• 게이지 군이 국소 운동량 맵을 통해 작용할 경우 축소된 위상공간을 특성화하기.
• 잔류 게이지 군의 운동량 맵에서 유래하는 플럭스 초선택 섹터를 축소된 위상공간의 심플렉틱 잎으로 식별하기.
• 모서리 다양체 위에 자연스러운 심플렉틱 리 대수다양체를 구성하고, 이를 노이터 노르말량 대수와 연결하기.
• 양–밀스 이론에 이 형식을 적용하고, 초전도체 이론인 초전도체 이론 및 BF 이론으로 확장하기.

제안 방법

• 유한 차원이 아닌 게이지 군에 대해 프레셰 축소의 단계적 적용을 변형하여, 운동량 맵을 부피(약속)와 경계(플럭스) 항으로 분해하기.
• 약속 게이지 군을 약속 사상의 핵으로 정의하고, 플럭스 게이지 군을 전체 게이지 군에서 약속 부분군을 나눈 몫으로 정의하기.
• 약한 등변성과 코chains 조건을 사용하여 플럭스 게이지 군이 축소된 위상공간 위에 작용하는 방식을 제어하기.
• 비온-쉘 코너 데이터 다양체 위에 파울슨 구조를 구성하고, 그 심플렉틱 잎이 플럭스 초선택 섹터로 식별되도록 하기.
• 양–밀스 이론에 이 형식을 적용하여, 두 번째 단계의 축소가 아벨 경우 웨인스타인 공간을 유도함을 보여주기.
• 축소된 위상공간과 코너 데이터가 동일한 초선택 레이블 공간 위에 피브린게 되어 있음을 확인하고, 둘 다의 파울슨 구조의 카시미르를 식별하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 축소 기법을 사용하여 모서리가 있는 시공간에서 하밀토니안 게이지 이론을 일관적으로 수립할 수 있는가?
• RQ2 경계가 있는 게이지 이론에서 운동량 맵 분해에 있어 약속 사상과 플럭스 사상의 역할은 무엇인가?
• RQ3 약속 축소 이후 잔류 게이지 대칭에서 플럭스 초선택 섹터는 어떻게 유도되는가?
• RQ4 코너 데이터 다양체의 기하학적 구조는 무엇이며, 노이터 노르말량 대수와의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 형식은 양–밀스 이론, 초전도체 이론, BF 이론과 같은 특정 이론에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 이론의 축소된 위상공간은 부분 파울슨 다양체로 표현되며, $\underline{\underline{\mathcal{C}}} = \mathcal{C}/\mathcal{G} \simeq \underline{\mathcal{C}}/\underline{\mathcal{G}}$ 로 표기되며, 플럭스 초선택 섹터로 표시된 심플렉틱 잎을 가진다.
• 플럭스 초선택 섹터는 잔류 플럭스 게이지 군 $\underline{\mathcal{G}} = \mathcal{G}/\mathcal{G}_{\circ}$ 의 운동량 맵에서 유래하며, 코너 파울슨 구조의 카시미르와 일대일 대응된다.
• 양–밀스 이론의 경우, 두 번째 단계의 축소는 아벨 경우 웨인스타인 공간을 유도하며, 이는 잘 정의된 축소된 위상공간을 나타낸다.
• 코너 다양체 $\mathcal{P}_{\partial}$ 는 자연스러운 부분 파울슨 구조를 지니며, 그 온-쉘 부분다양체 $\mathcal{C}_{\partial}$ 는 파울슨 다양체이며, 노이터 노르말량 대수로 해석된다.
• 이 형식은 $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ 와 $\mathcal{C}_{\partial}$ 가 모두 동일한 초선택 레이블 공간 위에 피브린게 되어 있음을 식별하여 고전적 초선택 구조를 통합한다.
• 판데프–포포프 연산자 $\Delta_{A_0A}$ 가 각 연결장 $A_0$ 근처에서 가역임을 보여주어 국소 쿨롱 게이지 고정과 허지 타입 분해가 모서리가 있는 조건에서도 가능함을 보여준다.