[논문 리뷰] Hamiltonian loops on the symplectic blow up

Andrés Pedroza|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 06.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 다양체 위의 해밀토니안 루프가 그의 한 점 심플렉틱 블로우업으로 올라가면서도 여전히 해밀토니안 루프로 유지됨을 보여준다. 웨인스타인의 준동형사상(Weinstein's morphism)을 이용하여, 이 올림된 루프가 블로우업된 다양체의 해밀토니안 미분구상군의 기본군에서 무한 순서를 가짐을 증명함으로써, 심플렉틱 위상수학에서 비자명한 위상수학적 불변량을 확립한다.

ABSTRACT

We lift a Hamiltonian loop on a symplectic manifold to a Hamiltonian loop on the symplectic one-point blow up of a symplectic manifold. Then we use Weinstein's morphism to show that the lifted Hamiltonian loop has infinite order on the fundamental group of the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the blown up manifold.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안 루프가 심플렉틱 블로우업 작용에 의해 어떻게 영향을 받는지 조사하기.
• 한 점 심플렉틱 블로우업에 따라 해밀토니안 미분구상군의 기본군이 어떻게 변화하는지 규명하기.
• 웨인스타인의 준동형사상을 적용하여 올림된 루프에서 비자명한 위상수학적 성질을 탐지하기.
• 블로우업된 다양체의 해밀토니안 미분구상군의 기본군에서 올림된 루프가 무한 순서를 가짐을 확립하기.

제안 방법

• 심플렉틱 기하학 기법을 사용하여 주어진 해밀토니안 루프를 원래 심플렉틱 다양체에서 그의 한 점 심플렉틱 블로우업으로 올리기.
• 블로우업된 다양체 위에서 루프의 해밀토니안 성질을 유지하는 올림을 구성하기.
• 해밀토니안 미분구상군의 기본군에서 첫 번째 호모로지 군으로의 준동형사상인 웨인스타인의 준동형사상(Weinstein's morphism)을 적용하기.
• 준동형사상을 사용하여 올림된 루프의 상을 분석하고 그의 비자명성을 도출하기.
• 웨인스타인의 준동형사상에 의한 상이 0이 아니라는 것을 보여주어, 루프가 무한 순서를 가짐을 증명하기.
• 결론적으로, 블로우업된 다양체의 해밀토니안 미분구상군의 기본군이 비탄성 원소를 포함함을 밝힘.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 블로우업 작용은 해밀토니안 미분구상군의 기본군의 구조를 유지하는가, 아니면 변화시키는가?
• RQ2 원래 다양체 위의 해밀토니안 루프가 블로우업된 다양체 위에서 비수축 가능한 루프로 올라갈 수 있는가?
• RQ3 블로우업된 다양체의 해밀토니안 미분구상군의 기본군에서 올림된 해밀토니안 루프의 순서는 무엇인가?
• RQ4 웨인스타인의 준동형사상은 올림된 루프에서 비자명한 위상수학적 성질을 어떻게 탐지하는가?
• RQ5 블로우업된 다양체의 해밀토니안 미분구상군의 기본군에서 올림된 루프는 무한 순서를 가짐이 맞는가?

주요 결과

• 원래 다양체 위의 해밀토니안 루프는 한 점 심플렉틱 블로우업된 다양체 위의 해밀토니안 루프로 올라간다.
• 올림된 루프는 블로우업된 다양체의 해밀토니안 미분구상군의 기본군에서 수축 가능하지 않다.
• 웨인스타인의 준동형사상은 올림된 루프를 첫 번째 호모로지 군의 0이 아닌 원소로 매핑한다.
• 웨인스타인의 준동형사상에 의한 상이 0이 아니므로, 올림된 루프는 무한 순서를 가짐을 의미한다.
• 블로우업된 다양체의 해밀토니안 미분구상군의 기본군은 비탄성 원소를 포함한다.
• 결과적으로, 블로우업의 심플렉틱 위상수학에서 비자명한 위상수학적 불변량이 확립된다.