[논문 리뷰] Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds in complex space forms

Ildefonso Castro, Haizhong Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2004. 12. 02.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소 유클리드, 복소 사영, 복소 쌍곡평면에서 해밀토니안-최소 라그랑주 부분다양체의 새로운 예를 구성한다. 이를 위해 기저로는 홀로모르픽 부분다양체를 갖는 홀로모르픽 부분다양체를 사용하며, 호프 fibration을 통해 올리고 일차 파라미터 가중치를 적용함으로써 명시적인 H-최소 라그랑주 임베딩과 매장이 유도된다. 이는 복소 유클리드 공간에서의 콘과 복소 사영 및 쌍곡 공간에서의 최소 라그랑주 부분다양체를 포함한다.

ABSTRACT

Using Legendrian immersions and, in particular, Legendre curves in odd dimensional spheres and anti De Sitter spaces, we provide a method of construction of new examples of Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces, including explicit one parameter families of embeddings of quotients of certain product manifolds. In addition, new examples of minimal Lagrangian submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces also appear. Making use of all of them, we get Hamiltonian-minimal and special Lagrangian cones in complex Euclidean space too.

연구 동기 및 목표

• 평행 평균 곡률을 갖는 것 이외의 복소 사영 및 쌍곡 공간에서 해밀토니안-최소 라그랑주 부분다양체의 새로운 예를 구성하기 위해.
• 높은 차원과 단순연결이 아닌 몫다양체로의 H-최소 라그랑주 부분다양체의 분류를 확장하기 위해.
• 기하적 올림을 통해 복소 유클리드 공간에서 해밀토니안-최소 및 특수 라그랑주 콘을 생성하기 위해.
• 특히 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$ 및 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$와 같은 몫다양체의 명시적 일차 파라미터 가중치 가중치를 포함한 H-최소 라그랑주 임베딩을 생성하기 위해.
• 구축 방법의 부산물로 기존의 최소 라그랑주 부분다양체를 복구하고 확장하기 위해.

제안 방법

• 단위 구면 $\mathbb{S}^{2n+1}$과 반데 시터 공간 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$에서의 레전드리안 임베딩을 기본 기하 도구로 사용한다.
• 호프 피브레이션 $\Pi: \mathbb{S}^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 및 $\Pi: \mathbb{H}_1^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathbb{H}^n$을 적용하여 레전드리안 부분다양체를 복소 공간형으로 사영한다.
• 雙곡선 및 삼각함수를 포함한 일차 파라미터 가중치를 갖는 매핑의 가중치를 통해 H-최소 라그랑주 임베딩을 구성한다. 예를 들어 $\sinh\rho$, $\cosh\rho$, 복소 지수함수 등.
• 특수한 ODE 시스템의 해를 이용한 위어스타스 타입 표현을 적용하여 $\mathbb{H}_1^3$에서의 해를 유도한다. 특히 $\alpha_j' \bar{\alpha}_j = i \bar{\alpha}_1^{n_1+1} \bar{\alpha}_2^{n_2+1}$ 형태의 방정식을 사용한다.
• 실수 적분을 통해 곡선의 반경 및 각도 성분을 명시적으로 파arametrization하여, 결과 매핑이 잘 정의되고 매끄럽다는 것을 보장한다.
• 대칭 조건(예: $\mathbb{Z}_2$-작용)을 적용하여 단순연결이 아닌 몫다양체에서의 매립 부분다양체를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 사영 및 쌍곡 공간에서 평행 평균 곡률을 갖는 것 이외의 새로운 해밀토니안-최소 라그랑주 부분다양체의 가중치를 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떻게 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 및 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$에서의 레전드리안 부분다양체를 이용하여 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 및 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$에서 H-최소 라그랑주 부분다양체를 생성할 수 있는가?
• RQ3 특히 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$ 또는 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$와 같은 몰입 구조에서 어떤 명시적 일차 파라미터 가중치 가중치의 H-최소 라그랑주 임베딩이 유도되는가?
• RQ4 이러한 기하적 올림을 통해 복소 유클리드 공간 $\mathbb{C}^{n+1}$에서 특수 라그랑주 콘을 구성할 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 이 구축 방법이 단순히 H-최소 라그랑주 부분다양체가 아니라 최소 라그랑주 부분다양체를 유도하는가?

주요 결과

• 레전드리안 부분다양체를 $\mathbb{S}^{2n+1}$에서 사영함으로써 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$에서 일차 파라미터 가중치 H-최소 라그랑주 임베딩을 구성하였다. 특히 $n_1 + n_2 + 1 = n$ 조건을 만족하는 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$의 명시적 임베딩 예가 포함되어 있다.
• 레전드리안 부분다양체를 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$에서 사용하여 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$에서 새로운 H-최소 라그랑주 임베딩을 구성하였다. 특히 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$의 $\mathbb{Z}_2$ 작용에 대한 몫을 포함한 명시적 임베딩이 있다.
• 구축된 레전드리안 부분다양체의 리듬으로 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 및 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$에서 특수 라그랑주 콘을 얻었으며, 이는 복소 유클리드 공간에서의 새로운 예를 제공한다.
• 초기 레전드리안 부분다양체가 C-최소일 경우, 이 구축 방법은 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 및 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$에서 새로운 최소 라그랑주 부분다양체를 특수한 경우로 제공한다.
• $\mathbb{H}_1^3$에서 ODE 시스템의 해를 통해 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$에서 일차 파라미터 가중치 최소 라그랑주 임베딩을 얻었으며, 이는 $x^2 + \sinh^2\varrho$ 및 $x^2 + \cosh^2\varrho$의 유리함수 적분을 포함한 명시적 파arametrization을 포함한다.
• 이 방법은 임의의 $n \geq 2$에 대해 $\mathbb{C}^{n+1}$, $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$, $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$에서 H-최소 라그랑주 부분다양체의 완전한 가중치를 제공하며, 이는 이전에 알려진 저차원 예제들을 일반화한다.