[논문 리뷰] Hamiltonian Simulation in the Interaction Picture

Guang Hao Low, Nathan Wiebe|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 02.

Scientific Computing and Data Management인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 상호 작용 그림에서 절단된 Dyson 급수를 이용한 시간 의존 양자 다 dynamics 시뮬레이션을 위한 저공간(overhead) 알고리즘을 제시하며, 특정 해밀토니안(대각 우세 시스템 및 장거리 상호작용을 갖는 Hubbard 모델)을 포함하여 더 나은 게이트 복잡성을 달성합니다.

ABSTRACT

We present a low-space overhead simulation algorithm based on the truncated Dyson series for time-dependent quantum dynamics. This algorithm is applied to simulating time-independent Hamiltonians by transitioning to the interaction picture, where some portions are made time-dependent. This can provide a favorable complexity trade-off as the algorithm scales exponentially better with derivatives of the time-dependent component than the original Hamiltonian. We show that this leads to an exponential improvement in gate complexity for simulating some classes of diagonally dominant Hamiltonian. Additionally we show that this can reduce the gate-complexity scaling for simulating $N$-site Hubbard models for time $t$ with arbitrary long-range interactions as well as reduce the cost of quantum chemistry simulations within a similar-sized plane-wave basis to $\widetilde{\mathcal{O}}(N^2t)$ from $\widetilde{\mathcal{O}}(N^{11/3}t)$. We also show a quadratic improvement in query complexity for simulating sparse time-dependent Hamiltonians, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 절단된 Dyson 급수를 사용한 시간 의존 양자 다 dynamics를 위한 저공간 오버헤드 방법을 동기 부여하고 개발합니다.
• 일부 해밀토니안에 대해 상호 작용 그림으로의 전환이 바람직한 복잡도 트레이드를 제공하는 방법을 보여줍니다.
• Schrödinger 그림 방법에 비해 게이트 및 공간 비용을 개선하는 엄밀한 분석과 회로 구성을 제공합니다.
• 장거리 상호작용이 있는 Hubbard 모델 및 평면파 전자 구조에 대한 응용으로 실용적 이점을 보여줍니다.
• 희소하고 시간 의존적인 해밀토니안에 프레임워크를 확장하고 복잡도 이론적 함의를 논의합니다.

제안 방법

• 스펙트럴 노름이 α이고 평균 변화율 ⟨||Ḣ||⟩를 갖는 H(s)에 대한 절단 Dyson 급수를 기반으로 일반적인 시간 의존 시뮬레이션 알고리즘을 개발합니다.
• 블록 인코딩 오라클 HAM 및 HAM-T를 표준 형식 입력 모델에 따라 해밀토니안으로 부호화합니다.
• 절단 및 이산화 오류를 분석하여 시간 의존 설정에서 비용 O(α t log(α t/ε)/log log(α t/ε)) 쿼리를 보임합니다.
• H = A + B이고 H_I(t) = e^{iAt}Be^{-iAt}인 상호 작용 그림에서 절단 Dyson 급수를 적용하여 시뮬레이션을 가능하게 하며, 비용은 ||A||보다 ||B||에 더 유리하게 스케일링됩니다.
• 장시간 진화를 위한 다중 구간 전략을 도출하고 명시적 게이트, 큐비트, 쿼리 복잡도를 제공합니다.
• 희소한 시간 의존 해밀토니안 및 대각 우세한 경우를 포함하여 Hubbard 모델 및 평면파 전자 구조에 대한 복잡도 향상을 제시합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 의존 해밀토니안에 대해 Dyson 급수를 엄밀하게 분석하여 양자 회로로 제어 가능한 오류를 달성할 수 있는가?
• RQ2 특정 해밀토니안 구조에 대해 상호 작용 그림과 Schrödinger 그림에서의 게이트 및 공간 복잡도 비용은 어떠한가?
• RQ3 상호 작용 그림이 A-노름의 큰 용량에 대한 의존도를 줄이고 더 작은 B-노름에 비례하는 효율성을 증폭시킬 수 있는가?
• RQ4 장거리 상호작용 Hubbard 모델 및 평면파 전자 구조 측면에서 게이트 수 측면에서의 함의는 무엇인가?
• RQ5 희소한 시간 의존 해밀토니안에 이 접근법을 확장하면 어떤 복잡도 향상이 나타나는가?

주요 결과

• 시간 의존 해밀토니안의 Dyson 급수 기반 시뮬레이션은 시간 의존 설정에서 비용이 O(α t log(α t/ε)/log log(α t/ε)) 쿼리로 감소하고 이전 방법에 비해 큐비트 오버헤드도 감소합니다.
• 상호 작용 그림에서의 시뮬레이션은 대각 우세한 특정 해밀토니안들에 대해 ||A||가 아닌 ||B||로 스케일링되며 기하급수적 게이트 복잡도 향상을 얻을 수 있습니다.
• 장거리 상호작용을 갖는 N-사이트 Hubbard 모델에 적용하면 게이트 복잡도는 약 Õ(N^2 t)로 달성되어 이전의 Õ(N^{11/3} t) 스케일링에 비해 거의 제곱에 가깝게 개선됩니다.
• 평면파 기저의 전자구조 맥락에서 이 방법은 시뮬레이션을 ~ Õ(N^2 t) 게이트로 축소하여 제곱근 수준의 개선에 가깝게 다가갑니다.
• 표준 쿼리 모델에서 희소한 시간 의존 해밀토니안에 대해 쿼리 복잡도의 2차 개선이 보입니다.
• 프레임워크는 엄밀한 경계와 명시적 회로 구성을 제공하며, 장시간 진화를 위한 다중 구간 전략을 포함합니다.