[논문 리뷰] Hamiltonian vector fields of homogeneous polynomials in two variables

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 16.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 변수의 동차 다항식과 관련된 해밀토니안 벡터장 중에서 중복된 소인수를 가지지 않는 (즉, 조건 (*)를 만족하는) 경우, 항등형으로 동치되는 궤도를 보존하는 매끄러운 미분형상의 국소적 변환은 매끄러운 실수 함수에 의한 흐름의 시간 이동으로 표현될 수 있음을 증명한다. 핵심 결과는 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$ 이며, 이는 항등형에 속하는 궤도를 보존하는 미분형상이 정확히 매끄러운 흐름 이동에 의해 생성된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Let $g:\mathbb{R}^2 o\mathbb{R}$ be a homogeneous polynomial of degree $p>1$, $G=(-g'_{y}, g'_{x})$ be its Hamiltonian vector field, and $G_t$ be the local flow generated by $G$. Denote by $E(G,O)$ the space of germs of $C^{\infty}$ diffeomorphisms $(\mathbb{R}^2,O) o(\mathbb{R}^2,O)$ that preserve orbits of $G$. Let also $E_{\mathrm{id}}(G,O)$ be the identity component of $E(G,O)$ with respect to $C^1$-topology. Suppose that $g$ has no multiple prime factors. Then we prove that for every $h\in E_{\mathrm{id}}(G,O)$ there exists a germ of a smooth function $α:\mathbb{R}^2 o\mathbb{R}$ at $O$ such that $h(z)=G_{α(z)}(z)$.

연구 동기 및 목표

• 두 변수의 동차 다항식과 관련된 해밀토니안 벡터장의 궤도를 보존하는 매끄러운 미분형상의 국소적 변환군의 항등형 성분을 특성화하는 것.
• 해당 미분형상이 벡터장의 흐름에 따른 시간 이동 맵으로 나타나는 조건을 규명하는 것.
• 특히 다항식에 중복된 소인수가 없을 경우, 궤도를 보존하는 미분형상과 매끄러운 흐름 이동 사이의 구조적 대응 관계를 확립하는 것.

제안 방법

• 차수 $\geq 2$인 동차 다항식 $g$에 대해 해밀토니안 벡터장 $G = (-g_y, g_x)$ 를 정의한다.
• 항등형으로 동치되며 $G$의 궤도를 보존하는 $C^\infty$ 미분형상의 국소적 변환들의 집합인 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O)$ 를 도입한다.
• 흐름 $\mathbf{G}_t$ 와 매끄러운 함수 $\alpha(z)$ 를 이용해 $h(z) = \mathbf{G}_{\alpha(z)}(z)$ 로 정의되는 국소적 변환들의 집합인 $\mathrm{Sh}(G,O)$ 를 정의한다.
• 국소 좌표계와 Hadamard 보조정리를 사용하여, 미분형상에 의해 대응되는 점들 사이의 시간 함수 $\psi$ 의 정칙성을 분석하고, 이 함수가 매끄럽고 경계에서 평탄함을 보인다.
• 대응 $\hat{h} \mapsto \psi$ 가 $C^{r+p,r}_{W,W}$-위상에서 연속임을 증명하여, 시간 함수가 미분형상에 대해 매끄럽게 의존함을 보장한다.
• 다항식 $g$ 가 중복된 소인수를 가지지 않음(즉, 조건 (*)를 만족함)일 경우, $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$ 를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 항등형으로 동치되는 궤도를 보존하는 모든 미분형상이 해밀토니안 벡터장의 흐름에 따른 매끄러운 시간 이동으로 표현될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 항등형 성분의 궤도를 보존하는 미분형상 군이 매끄러운 함수에 의해 생성된 시간 이동 맵으로 완전히 기술될 수 있는가?
• RQ3 동차 다항식의 소인수 분해에서 중복된 소인수가 없는 것이 궤도를 보존하는 미분형상 군의 구조에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 시간 함수 $\psi$ 의 매끄럽고 경계에서 평탄한 성질이 미분형상의 정칙성과 벡터장의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 해밀토니안 벡터장의 성질 (*) 가 궤도를 보존하는 미분형상이 흐름에 의해 생성됨을 보장하는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 궤도를 보존하는 국소적 미분형상의 군의 항등형 성분 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O)$ 는 정확히 $G$ 의 흐름에 沿한 매끄러운 이동들의 집합 $\mathrm{Sh}(G,O)$ 와 일치한다.
• 모든 $h \in \widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O)$ 는 원점에서 정의된 매끄러운 국소 함수 $\alpha: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 가 존재하여 $h(z) = \mathbf{G}_{\alpha(z)}(z)$ 로 표현될 수 있다.
• 점들 사이의 흐름 시간을 측정하는 시간 함수 $\psi$ 는 $g$ 가 중복 인수를 가지지 않을 경우 매끄럽고 경계에서 평탄하다.
• 대응 $\hat{h} \mapsto \psi$ 는 $C^{r+p,r}_{W,W}$-위상에서 연속적이며, 이는 시간 함수가 미분형상에 대해 매끄럽게 의존함을 보장한다.
• 이전의 선형 벡터장에 대한 결과를 일반화하며, 고립된 특이점을 가진 표면 위의 모르스 함수의 안정자에 대한 호모토피 유형 계산을 가능하게 한다.
• 다항식 $g$ 가 중복된 소인수를 가지지 않음(성질 (*))은 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$ 가 성립하기 위해 필수적이고 충분한 조건이다.