[논문 리뷰] Hamiltonicity of the Cayley Digraph on the Symmetric Group Generated by {\sigma} = (1 2 ... n) and { au} = (1 2)

Aaron Williams|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 09.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 $S_n$ 에서 $n$-순환 $ au = (1\;2\;\cdots\;n)$ 과 호환 전위 $ au = (1\;2)$ 에 의해 생성되는 방향성 카일리 그래프에서, 모든 홀수 $n$ 에 대해 해밀턴 순환을 구성함으로써 오랫동안 미해결된 문제를 해결한다. 또한 모든 $n$ 에 대해 해밀턴 경로를 구성한다. 이 구성은 회전 등가성과 회전 체계에 기반한 국소적 엣지 규칙을 사용하여 문제를 $n-1$ 개 정점의 휠 구조로 환원하며, 순환 커버에 포함된 $\tau$-엣지의 수가 최소임을 증명한다.

ABSTRACT

The symmetric group is generated by {\sigma} = (1 2 ... n) and { au} = (1 2). We answer an open problem of Nijenhuis and Wilf by constructing a Hamilton path in the directed Cayley graph for all n, and a Hamilton cycle for odd n.

연구 동기 및 목표

• Nijenhuis와 Wilf 가 제기한, $\sigma = (1\;2\;\cdots\;n)$ 과 $\tau = (1\;2)$ 에 의해 생성되는 $\mathrm{cayley}(S_n, \{\sigma, \tau\})$ 의 방향성 카일리 그래프에서 해밀턴성 문제를 해결한다.
• 모든 $n$ 에 대해 해밀턴 경로가 존재함을 증명하며, $n \geq 4$ 인 짝수 $n$ 에서 해밀턴 순환에 대한 알려진 장애물에도 불구하고 홀수 $n$ 에 대해 해밀턴 순환이 존재함을 보인다.
• 해밀턴 순환과 경로를 구성하는 데 사용되는 단순한 국소적 규칙을 제공하며, $n$ 과 그 오른쪽 인접 원소의 위치에 기반한 엣지 선택 기준을 사용한다.
• 해밀턴 순환 커버와 크기 2의 순환 커버에서 $\tau$-엣지의 수를 최소화함을 보이며, $C_1(n)$ 과 $C_2(n)$ 이 모든 그러한 순환과 커버 중에서 $\tau$-엣지 수가 가장 적은 것으로 나타난다.

제안 방법

• $C_1(n)$ 과 $C_2(n)$ 을 국소적 규칙으로 정의한다: 각 순열 $p$ 에 대해, $n$ 과 그 오른쪽에 있는 기호의 위치에 따라 $p$ 에 들어오는 엣지($\tau$ 또는 $\sigma^{-1}$) 를 지정한다.
• 특히 $\sigma^n$ 과 $(\tau\sigma^{-1})^{n-1}$ 형식의 순환의 대칭차를 중심으로 하여 순환의 구조를 모델링하기 위해 회전 체계를 사용한다.
• 말뚝 경로를 스무딩하고 회전 체계 내 엣지 순서를 분석하여 복잡한 순환 체계를 $n-1$ 개 정점의 휠 그래프로 환원한다.
• 감소된 시스템 $W_1(n)[U]$ 가 $(n-1)$-휠 그래프의 회전 체계와 일치함을 보여 증명함으로써, 모든 정점이 정확히 한 번씩 커버됨을 보장한다.
• 회전에 대한 일관된 동치류 개념을 사용하여, 한 기호를 제외한 순열을 그 순환 표현과 연결한다.
• 최종 시스템의 엣지 순서를 원래 시스템과 감소된 시스템의 정점 순환 순서를 비교하여 검증함으로써, 중복되거나 누락된 엣지가 없음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향성 카일리 그래프 $\mathrm{cayley}(S_n, \{\sigma, \tau\})$ 는 홀수 $n$ 에 대해 해밀턴 순환을 갖는가?
• RQ2 이 그래프에서 모든 $n$ 에 대해 해밀턴 경로를 구성할 수 있는가, 특히 $n$ 이 짝수일 경우에도 포함하여?
• RQ3 이 그래프에서 해밀턴 순환 또는 크기 2의 순환 커버에 필요한 최소 $\tau$-엣지 수는 얼마인가?
• RQ4 이 구성은 $n$ 과 그 후속 원소의 위치에 기반한 단순한 국소적 규칙로 표현될 수 있는가?
• RQ5 결과로 얻어진 순환 커버의 구조는 가능한 한 트리에 가까운가, 복잡도를 최소화하는가?

주요 결과

• 모든 홀수 $n$ 에 대해 $G(n)$ 에 해밀턴 순환 $C_1(n)$ 이 존재하며, Knuth 가 48/50 로 평가한 50년 전 문제를 해결한다.
• 모든 $n$ 에 대해 해밀턴 경로 $P(n)$ 이 존재하며, $n$ 이 짝수일 경우 해밀턴 순환이 불가능한 상황에 대한 해결책을 제공한다.
• 모든 $n$ 에 대해 크기 2의 순환 커버 $C_2(n)$ 이 존재하며, $n$ 이 홀수일 경우 해밀턴 순환이 된다.
• $C_1(n)$ 과 $C_2(n)$ 은 각각 $G(n)$ 내 모든 해밀턴 순환과 크기 2의 순환 커버 중에서 $\tau$-엣지 수가 가장 적은 것으로 나타났다.
• $\sigma^n$ 과 $(\tau\sigma^{-1})^{n-1}$ 의 대칭차가 $n-1$ 개 정점의 휠 구조로 단순화되며, 이는 해법의 위상적 단순성을 설명한다.
• 최종 회전 체계 $W_1(n)[U]$ 는 $(n-1)$-휠 그래프의 회전 체계와 동형이며, 순환 커버의 정확성을 확인한다.