[논문 리뷰] Hands-Off Control as Green Control

Masaaki Nagahara, Daniel E. Quevedo외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 09.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 11인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 제어 입력의 최소 사용을 통해 액추에이터 사용을 최소화하고, 제어 입력이 완전히 0인 간격을 최대화함으로써 녹색 제어 철학으로서의 손 떼기 제어(hand-off control)를 소개한다. 이는 희박한(최대 손 떼기) 제어가 $L^1$-최적 제어와 동일하다는 것을 증명한다. 주요 기여는 선형 시간 불변 시스템에 대해 시간 이산화와 표준 솔버를 활용하여 $L^1$ 최소화를 통한 희박한 제어를 효율적으로 계산할 수 있는 볼록 최적화 프레임워크를 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

In this article, we introduce a new paradigm of control, called hands-off control, which can save energy and reduce CO2 emissions in control systems. A hands-off control is defined as a control that has a much shorter support than the horizon length. The maximum hands-off control is the minimum support (or sparsest) control among all admissible controls. With maximum hands-off control, actuators in the feedback control system can be stopped during time intervals over which the control values are zero. We show the maximum hands-off control is given by L1 optimal control, for which we also show numerical computation formulas.

연구 동기 및 목표

• 액추에이터 활동을 최소화하기 위해 제어 입력이 완전히 0인 간격을 연장함으로써 에너지 소비와 CO2 배출량을 줄이는 새로운 제어 철학을 개발하는 것.
• 제어 입력이 정확히 0인 시간 간격을 최대화하는 희박한 제어를 찾는 문제에 도전하는 것—이는 $L^0$-노름 최적화가 비볼록임에도 불구하고.
• $L^1$-최적 제어를 희박한 제어의 실용적 대체 수단으로 사용하여 최대 손 떼기 제어를 위한 이론적 및 계산적 프레임워크를 수립하는 것.
• 시간 이산화와 볼록 최적화를 통해 선형 시간 불변 시스템에서 $L^1$-최적 제어를 수치적으로 효율적으로 계산하는 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 최대 손 떼기 제어를 희박한 제어로 정의하며, 제어 입력의 $L^0$-노름을 시간 구간 전체에서 최소화함으로써 정의된다.
• 정상성 조건 하에서 $L^0$-최적 제어 문제와 $L^1$-최적 제어 문제 간의 동치성을 이론적으로 증명함으로써 볼록 이완이 가능해진다.
• 연속 시간 최적 제어 문제를 유한 차원의 볼록 최적화 문제로 변환하기 위해 시간 이산화를 적용한다.
• 시간 간격 동안 상태 전이를 모델링하기 위해 $A_d = e^{Ah}$ 및 $B_d = \int_0^h e^{At}B\,dt$를 사용하여 시스템 동역학을 이산화한다.
• $L^1$-최적 제어 문제를 제어 벡터 $\mathbf{U}$의 $\ell^1$-노름 최소화로 재구성하며, 상태 및 크기 제약 조건을 수반하는 볼록 최적화 문제로 재정의한다.
• 표준 볼록 최적화 도구(예: MATLAB의 CVX)를 사용하여 이산화된 문제를 효율적으로 해결하며, $L^1$-노름의 희박성 촉진 성질을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록성 때문에 $L^0$-노름 최적화가 어려운 상황에서도, 제어 입력이 완전히 0인 시간 간격을 최대화하는 희박한 제어를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 표준 조건 하에서 동일한 해를 제공하는 $L^0$-최적 제어 문제의 볼록 대체 수단이 존재하는가?
• RQ3 선형 시간 불변 시스템에서 $L^1$-최적 제어를 어떻게 수치적으로 계산하여 최대 손 떼기 행동을 달성할 수 있는가?
• RQ4 $L^1$-최적 제어와 이론적 최대 손 떼기 제어 간의 희박성 및 시스템 성능 면에서의 관계는 무엇인가?
• RQ5 제안된 방법을 네트워크 기반 또는 임베디드 제어 시스템으로 확장하여 통신 및 에너지 사용을 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 제어 입력의 $L^0$-노름을 최소화하는 최대 손 떼기 제어는 정상성 가정 하에서 $L^1$-최적 제어와 동일하다.
• $L^1$-최적 제어 문제는 비볼록인 $L^0$-문제의 해와 동일한 해를 제공하는 볼록 이완을 제공하여 수치적 계산을 효율적으로 가능하게 한다.
• 선형 시간 불변 시스템의 경우, 시간 이산화를 통해 $L^1$-최적 제어 문제를 볼록 최적화 문제로 재구성하고 표준 솔버로 해결할 수 있다.
• 이산화된 공식화는 $A_d = e^{Ah}$ 및 $B_d = \int_0^h e^{At}B\,dt$를 사용하여 이산 간격 동안 연속 시간 동역학을 근사한다.
• 결과적으로 얻어진 최적화 문제는 볼록하며, 상태 종료 조건($\mathbf{x}(T) = \mathbf{0}$)과 액추에이터 크기 제한($\|\mathbf{U}\|_\infty \leq 1$)에 의해 제약된다.
• 수치적 결과는 $L^1$ 최소화가 희박한 제어 입력을 효과적으로 생성함을 확인하며, 이는 장기간의 제어 입력 0 상태를 가능하게 하여 에너지 소비와 배출량을 감소시킨다.