[논문 리뷰] Hankel Determinants of sequences related to Bernoulli and Euler Polynomials

Karl Dilcher, Lin Jiu|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 20.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 헨켈 행렬식이 베르누이 및 오일러 다항식과 관련된 수열에 대해 정규직교다항식과 이들의 도함수와의 연결을 통해 평가된다. 새로운 폐쇄형 평가를 유도하며, 예를 들어 $ H_{2m+1}(kE_{k-1}) = (-1)^{m+1}2^{4m(m+1)}\prod_{\ell=1}^{m}\ell!^8 $를 포함하고 있으며, 베르누이 및 오일러 수와 그 특수값을 포함하는 기존 및 신규 항등식을 정리한다.

ABSTRACT

We evaluate the Hankel determinants of various sequences related to Bernoulli and Euler numbers and special values of the corresponding polynomials. Some of these results arise as special cases of Hankel determinants of certain sums and differences of Bernoulli and Euler polynomials, while others are consequences of a method that uses the derivatives of Bernoulli and Euler polynomials. We also obtain Hankel determinants for sequences of sums and differences of powers and for generalized Bernoulli polynomials belonging to certain Dirichlet characters with small conductors. Finally, we collect and organize Hankel determinant identities for numerous sequences, both new and known, containing Bernoulli and Euler numbers and polynomials.

연구 동기 및 목표

• 베르누이 및 오일러 다항식과 관련된 수열에 대한 헨켈 행렬식의 새로운 폐쇄형 평가를 도출하는 것.
• 베르누이 및 오일러 다항식의 도함수를 기반으로 한 방법을 도입하여 기존 결과를 확장하는 것.
• 베르누이 및 오일러 수와 그 특수값을 포함하는 기존 및 신규 헨켈 행렬식 항등식을 통합하고 정리하는 것.
• 특수 수열의 맥락에서 헨켈 행렬식, 정규직교다항식, 연속분수 간의 관계를 탐색하는 것.
• 디리클레 특성과 고차 오일러 수와 관련된 일반화된 수열에 대한 체계적인 평가를 제공하는 것.

제안 방법

• 수열 구성의 기초 도구로 베르누이 및 오일러 다항식의 생성함수를 사용한다.
• 헤놀 헨켈 행렬식 문제를 다룰 수 있는 대수적 형태로 변환하기 위해 도함수 기반 방법을 적용한다.
• 헤놀 헨켈 행렬식을 평가하기 위해 고전적 정규직교다항식과 연속분수 간의 연결을 활용한다.
• 예를 들어 $ \mathcal{B}^j $와 같이 기호적 표기법을 사용하여 일반화된 항등식에서의 베르누이 수를 표현한다.
• 이전 연구 결과(예: [6], [8], [9])를 적용하여 대수적 변형과 대입을 통해 새로운 항등식을 도출한다.
• 베르누이 및 오일러 다항식의 반사 및 대칭 성질을 활용하여 행렬식 표현을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 같은 인덱스를 가진 베르누이 다항식의 합과 차로 이루어진 수열에 대한 헨켈 행렬식 평가는 무엇인가?
• RQ2 베르누이 및 오일러 다항식의 도함수는 어떻게 사용되어 새로운 헨켈 행렬식 항등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 작은 도전도를 가진 디리클레 특성과 관련된 일반화된 베르누이 다항식에 대한 헨켈 행렬식 평가는 무엇인가?
• RQ4 수열 $ kE_{k-1} $의 헨켈 행렬식은 어떻게 행동하며, 어떤 폐쇄형 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ5 오일러 수의 헨켈 행렬식과 조합론적으로 정의된 수열 $ \mathbf{E}_n $의 헨켈 행렬식 간의 관계는 무엇이며, 항등식은 어떻게 상호 전환할 수 있는가?

주요 결과

• 오일러 수에 대한 헨켈 행렬식 $ H_n(E_k) $ 는 $ (-1)^{\binom{n+1}{2}}\prod_{\ell=1}^{n}\ell!^2 $ 로 주어지며, 이는 알려진 결과로 확인되고 맥락화된다.
• 수열 $ kE_{k-1} $ 에서는 홀수 차수의 헨켈 행렬식이 $ H_{2m+1}(kE_{k-1}) = (-1)^{m+1}2^{4m(m+1)}\prod_{\ell=1}^{m}\ell!^8 $ 로 주어지며, 짝수 차수의 경우는 0이 된다.
• 형식 $ H_n(\mathcal{B}^{k+2}({\mathcal{B}}+1)_{a-1}({\mathcal{B}}+1)_{b-1}(-{\mathcal{B}}+1)_{c-1}(-{\mathcal{B}}+1)_{d-1}) $ 의 헨켈 행렬식에 대한 일반 항등식이 유도되며, 계승과 거듭제곱이 포함된다.
• 이 방법은 작은 도전도를 가진 디리클레 특성과 관련된 일반화된 베르누이 다항식에 대한 헨켈 행렬식 평가에 성공적으로 적용된다.
• 논문은 조합론적 수열 $ \mathbf{E}_n $ 과 고전적 오일러 수 사이의 다리를 쌓으며, 헨켈 행렬식 항등식의 이동을 가능하게 한다.
• 논문은 한 [9]과 풀멕 및 크라텐탈러 [8]의 결과를 확인하고 확장하며, 특히 $ \mathbf{E}_k $ 와 $ \mathbf{E}_k/(k)! $ 를 포함하는 혼합 수열에 대해 강화된 결과를 도출한다.