[논문 리뷰] Hankel Tensors: Associated Hankel Matrices and Vandermonde Decomposition

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 21.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 헨켈 텐서를 도입하고, 헨켈 행렬, 평면 텐서, 바르데모프 분해와의 연결 고리를 설정한다. 이는 m차수 n차원 텐서가 바르데모프 분해를 갖는다 하면 그 텐서가 헨켈 텐서임을 증명하며, 이러한 분해에서의 양의 준정부호성과 비음수 계수를 통해 강한 헨켈 텐서와 완전한 헨켈 텐서를 특성화한다. 주요 결과로는 짝수차수의 강한 헨켈 텐서와 완전한 헨켈 텐서가 모두 양의 준정부호임을 보이며, 그 히스터드 곱이 이러한 성질을 유지함을 보인다.

ABSTRACT

Hankel tensors arise from applications such as signal processing. In this paper, we make an initial study on Hankel tensors. For each Hankel tensor, we associate it with a Hankel matrix and a higher order two-dimensional symmetric tensor, which we call the associated plane tensor. If the associated Hankel matrix is positive semi-definite, we call such a Hankel tensor a strong Hankel tensor. We show that an $m$ order $n$-dimensional tensor is a Hankel tensor if and only if it has a Vandermonde decomposition. We call a Hankel tensor a complete Hankel tensor if it has a Vandermonde decomposition with positive coefficients. We prove that if a Hankel tensor is copositive or an even order Hankel tensor is positive semi-definite, then the associated plane tensor is copositive or positive semi-definite, respectively. We show that even order strong and complete Hankel tensors are positive semi-definite, the Hadamard product of two strong Hankel tensors is a strong Hankel tensor, and the Hadamard product of two complete Hankel tensors is a complete Hankel tensor. We show that all the H-eigenvalue of a complete Hankel tensors (maybe of odd order) are nonnegative. We give some upper bounds and lower bounds for the smallest and the largest Z-eigenvalues of a Hankel tensor, respectively. Further questions on Hankel tensors are raised.

연구 동기 및 목표

• 신호 처리 및 텐서 응용 분야에서 나타나는 헨켈 텐서의 기본 성질을 확립하기 위해.
• 각 헨켈 텐서에 대응하는 헨켈 행렬과 평면 텐서를 정의하고 분석하기 위해.
• 양의 준정부호성과 바르데모프 분해 계수의 음수성 조건을 통해 강한 헨켈 텐서와 완전한 헨켈 텐서를 특성화하기 위해.
• 헨켈 텐서의 고유값 범위와 공사전성 조건을 조사하기 위해.
• 헤놀 텐서의 구조와 계산에 대한 향후 연구를 위한 알고리즘 제안과 열린 질문 제기하기 위해.

제안 방법

• 각 헨켈 텐서를 헨켈 행렬과 대칭 평면 텐서((n−1)m차수, 2차원)와 연관짓기.
• 헨켈 텐서의 생성 함수를 정의하고, 이 함수의 음수성 조건이 강한 헨켈 텐서를 특성화함을 증명하기.
• 바르데모프 분해를 이용해, 텐서가 헨켈 텐서임은 그 텐서가 이러한 분해를 갖는 것과 동치임을 보이기.
• 일변수 다항식을 [0,1]에서 최소화하는 최적화 기법을 적용하여 평면 텐서의 공사전성 조건을 검증하기.
• 고유값 분석과 노름 부등식을 활용해 헨켈 텐서의 Z-고유값에 대한 상한과 하한을 유도하기.
• 대칭성과 텐서 대수를 활용해 강한 헨켈 텐서와 완전한 헨켈 텐서가 히스터드 곱에 대해 닫혀 있음을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헨켈 텐서의 가장 큰 및 가장 작은 H-고유값(Z-고유값)은 효율적으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 헨켈, 강한 헨켈, 완전한 헨켈 텐서의 가장 작은 H-고유값을 계산하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 논문 [9]의 성질 8의 역이 헨켈 텐서에 대해서도 성립하는가? (즉, 비음수 주대각행렬 행렬식이 양의 준정부호성을 암시하는가?)
• RQ4 무한 헨켈 텐서와 다중선형 헨켈 연산자도 유한 헨켈 행렬과 유사하게 연구되어야 하는가?
• RQ5 헨켈 텐서의 고유값 계산을 위한 효율적인 알고리즘을 구축할 수 있는가?

주요 결과

• m차수 n차원 텐서가 헨켈 텐서임은 그 텐서가 바르데모프 분해를 갖는 것과 동치이다.
• 헨켈 텐서가 강할 조건은 그에 대응하는 헨켈 행렬이 양의 준정부호임과 동치이다.
• 짝수차수의 강한 헨켈 텐서는 양의 준정부호이며, 짝수차수의 완전한 헨켈 텐서는 모든 비음수 H-고유값을 갖는다.
• 두 강한 헨켈 텐서의 히스터드 곱은 강한 헨켈 텐서이며, 두 완전한 헨켈 텐서의 히스터드 곱은 완전한 헨켈 텐서이다.
• 헨켈 텐서가 공사전적이거나, 짝수차수의 헨켈 텐서가 양의 준정부호이면, 그에 대응하는 평면 텐서도 각각 공사전적이거나 양의 준정부호이다.
• 노름과 고유값 부등식을 이용해 헨켈 텐서의 가장 작은 및 가장 큰 Z-고유값에 대한 상한과 하한을 도출하였다.