[논문 리뷰] Hardness of Vertex Deletion and Project Scheduling

Ola Svensson|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 15.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 10인용 수 12

한 줄 요약

유니크 게임 추측을 가정할 경우, 이 논문은 방향성 그래프에서 피드백 정점 집합(FVS) 및 DAG 정점 삭제(DVD) 문제에 대해 강력한 근사 불가능성 결과를 확립한다. 이는 임의의 정수 $k \geq 2$ 및 임의로 작은 $ε > 0$ 에 대해, 그래프가 거의 $k$개의 해로 분할 가능하더라도, 어느 문제도 $k - \epsilon$ 요인 이내로 근사할 수 없음을 증명한다. 이는 이산 시간-비용 트레이드오프 문제의 비가역성에 대한 함의를 낳는다.

ABSTRACT

Assuming the Unique Games Conjecture, we show strong inapproximability results for two natural vertex deletion problems on directed graphs: for any integer $k\geq 2$ and arbitrary small $ε> 0$, the Feedback Vertex Set problem and the DAG Vertex Deletion problem are inapproximable within a factor $k-ε$ even on graphs where the vertices can be almost partitioned into $k$ solutions. This gives a more structured and therefore stronger UGC-based hardness result for the Feedback Vertex Set problem that is also simpler (albeit using the "It Ain't Over Till It's Over" theorem) than the previous hardness result. In comparison to the classical Feedback Vertex Set problem, the DAG Vertex Deletion problem has received little attention and, although we think it is a natural and interesting problem, the main motivation for our inapproximability result stems from its relationship with the classical Discrete Time-Cost Tradeoff Problem. More specifically, our results imply that the deadline version is NP-hard to approximate within any constant assuming the Unique Games Conjecture. This explains the difficulty in obtaining good approximation algorithms for that problem and further motivates previous alternative approaches such as bicriteria approximations.

연구 동기 및 목표

• 유니크 게임 추측 하에 피드백 정점 집합(FVS) 및 DAG 정점 삭제(DVD) 문제에 대해 강력한 근사 불가능성 결과를 확립하기 위해.
• DVD 문제와의 연결을 통해 고전적인 이산 시간-비용 트레이드오프 문제의 계산적 난이도를 명확히 하기 위해.
• 이전 결과들을 개선하기 위해 "It Ain't Over Till It's Over" 정리를 활용한 더 단순한 UGC 기반 FVS의 난이도 증명을 제공하기 위해.
• DVD 문제가 FVS만큼 근사가 어려운지 입증함으로써, 마감일 버전의 프로젝트 스케줄링에 대한 정수 계수 근사 알고리즘이 존재하지 않는 이유를 설명하기 위해.

제안 방법

• 층상 그래프와 테스트 정점 기반의 새로운 구성 방식을 사용하여 유니크 게임 문제에서 FVS 및 DVD 문제로의 감소를 수행하기 위해.
• 감소 과정에서 갭 성질를 강화하기 위해 "It Ain't Over Till It's Over" 정리를 활용하기 위해.
• 비용 함수가 정점 삭제와 연결된 시간 제약 조건을 강제하는 방식으로 DVD 인스턴스로부터 프로젝트 스케줄링 인스턴스를 구성하기 위해.
• 경로 제약 조건을 시뮬레이션하고 최소 경로 길이를 강제하기 위해 비트 정점과 테스트 정점을 사용하기 위해.
• 임의의 상수 비율의 테스트 정점들을 만족하는 색칠이 존재할 경우, 그에 따라 긴 경로가 존재함을 증명함으로써, 구조적 그래프 성질과 근사 불가능성 간의 연결 고리를 맺기 위해.
• 마감일 문제의 해가 DVD의 해와 직접적으로 대응됨을 보여주는 형식적 감소를 통해 근사 비율을 유지함을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니크 게임 추측 하에, 임의의 $k \geq 2$ 및 $\epsilon > 0$ 에 대해 피드백 정점 집합 문제는 $k - \epsilon$ 요인 이내로 근사 가능할 수 있는가?
• RQ2 DAG 정점 삭제 문제도 FVS만큼 근사가 어려운가? 그리고 동일한 근사 불가능성 한계를 상속하는가?
• RQ3 DVD 문제와 이산 시간-비용 트레이드오프 문제 사이의 계산 복잡도 관계는 어떠한가?
• RQ4 이전 연구에서 복잡한 기법을 사용한 것과는 달리, 더 단순한 UGC 기반 FVS 난이도 증명을 구성할 수 있는가?
• RQ5 유니크 게임 추측 하에, 이산 시간-비용 트레이드오프 문제의 마감일 버전은 어떤 정수 계수 근사 알고리즘도 가질 수 있는가?

주요 결과

• 유니크 게임 추측을 가정할 경우, 피드백 정점 집합 문제의 경우, 임의의 $k \geq 2$ 및 $\epsilon > 0$ 에 대해, 거의 $k$개의 피드백 정점 집합으로 분할 가능한 그래프에서도 $k - \epsilon$ 요인 이내로 근사할 수 없다.
• 동일한 조건 하에 DAG 정점 삭제 문제 역시 $k - \epsilon$ 요인 이내로 근사할 수 없음을 입증하여, 강력한 UGC 기반 난이도 결과를 확립한다.
• DVD에서 이산 시간-비용 트레이드오프 문제로의 감소를 통해, 마감일 버전의 프로젝트 스케줄링 문제의 경우, 유니크 게임 추측 하에 어떤 정수 계수 요인으로도 근사가 불가능하다는 것을 보여준다.
• 이 논문은 이전 결과들보다 더 단순한 UGC 기반 FVS 난이도 증명을 제공하며, 복잡한 정수 프ogramming 기법 대신 "It Ain't Over Till It's Over" 정리를 활용한다.
• 비트 정점과 $32\delta$ 비율의 테스트 정점으로 이루어진 임의의 부분그래프는 최소 $\delta^2 L$ 길이의 경로를 포함해야 하며, 이는 구조적 성질과 근사 불가능성 간의 연결 고리를 맺는다.
• 감소 과정에서의 비용 함수는 원래 그래프의 길이 $k$인 경로가 적어도 하나의 활동에 대해 비용 1을 요구하도록 강제하며, 이는 정점 삭제와 스케줄링 모델 내 비용 간의 직접적 연결 고리를 맺는다.