[논문 리뷰] Hardy Inequalities in General Domains

Georgios Psaradakis|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 16.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 81인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한한 내반지름을 가진 일반 도메인에서 L1-가중치 하드이 불등식의 날카운 잔여항을 도출하며, 경계까지의 거리 함수의 분포적 라플라시안을 사용한다. C2 도메인이 평균 볼록임은 거리 함수의 분포적 라플라시안이 음이 아닌 것으로서 동치임을 증명하며, 이는 구에서 최적의 상수를 갖는 잔여항과 p > n인 Lp 하드이 불등식의 개선된 형태로 이어진다. 이는 최적의 허들러 유형 노름을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

Key Words: Hardy inequalities, Sobolev inequalities, Morrey inequality, distance function, mean curvature, best constants, semi-concavity, sets with positive reach, mean convex sets, Cheeger constant, modulus of continuity

연구 동기 및 목표

• 유한한 내반지름을 가진 도메인에서 L1-가중치 하드이 불등식의 최적의 동차 잔여항을 유도하는 것.
• C2 도메인의 평균 볼록성을 거리 함수의 분포적 라플라시안을 통해 특성화하는 것.
• 구의 경우 상한과 하한이 일치하므로, 잔여항의 최적 상수를 확립하는 것.
• p > n인 Lp 하드이 불등식을 최적의 가중 허들러 노름을 추가하여 개선하는 것.
• 원점까지의 거리와 경계까지의 거리 양쪽 모두를 고려하여, 소보레프 유형 불등식을 개선하는 것.

제안 방법

• 경계까지의 거리 함수의 분포적 라플라시안을 핵심 분석 도구로 사용한다.
• 거리 함수 d의 분포적 라플라시안이 비음이 아닌 특이 부분과 거의 everywhere에서 (n−1)inf H(y) 이하로 유계인 절대 연속 부분을 갖는 부호 있는 라돈 측도임을 증명한다.
• C2 도메인이 평균 볼록임은 분포의 의미에서 −∆d ≥ 0임과 동치임을 증명한다.
• 라플라시안의 구조를 적용하여 L1-가중치 하드이 불등식의 잔여항에 대한 최적 상수의 하한과 상한을 도출한다.
• p > n인 경우 최적의 가중 허들러 노름을 추가하여 Lp 하드이 불등식의 局부 개선을 시행한다.
• 변분 기법과 기하 기법을 사용하여 최적 상수를 갖는 소보레프 및 하드이 불등식을 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 내반지름을 가진 도메인에서 L1-가중치 하드이 불등식의 최적 동차 잔여항은 무엇인가?
• RQ2 경계의 평균 곡률은 L1-가중치 하드이 불등식의 잔여항의 날카움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 잔여항의 최적 상수는 정확히 특성화될 수 있는가, 특히 구의 경우에 대해 말이다?
• RQ4 거리 함수의 분포적 라플라시안은 평균 볼록성을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 p > n인 Lp 하드이 불등식은 최적의 허들러 노름을 포함한 최적의 잔여항으로 어떻게 개선될 수 있는가?

주요 결과

• 경계까지의 거리 함수의 분포적 라플라시안은 비음이 아닌 특이 부분과 거의 everywhere에서 (−∆d)ac ≥ (n−1)inf H(y)를 만족하는 부호 있는 라돈 측도이다.
• C2 도메인이 평균 볼록임은 분포의 의미에서 −∆d ≥ 0임과 동치이다.
• 구의 경우, 잔여항의 최적 상수에 대한 상한과 하한이 일치하여, 최적 상수를 갖는 유한한 급수 형태의 최적 잔여항을 도출한다.
• L1-가중치 하드이 불등식의 잔여항에 대한 최적 상수는 (n−1)inf H(y) 이하로 유계이며, 총 평균 곡률 이하로도 유계이다.
• p > n인 Lp 하드이 불등식에 최적의 가중 허들러 노름을 추가하여, 최적의 상수를 갖는 개선된 불등식을 도출한다.
• 결과적으로 소보레프 불등식과 p > n인 하드이 불등식이 모두 개선되며, 하드이 불등식은 개선된 형태에서 최적의 상수를 갖는다.