[논문 리뷰] Hardy's inequality in a limiting case on general bounded domains

Jaeyoung Byeon, Futoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 13.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{R}^N $ 내의 유계 영역에서 하디 부등식의 극한 경우에 대한 최적 상수 $ C_N(\Omega) $ 를 조사한다. 여기서 가중치는 $ |x|^{-N} \left(\log \frac{R}{|x|}\right)^{-N} $ 를 포함한다. $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ 를 만족시키는 충분조건을 규명하고, 특정 영역에 대해 $ C_N(\Omega) $ 가 도달되지 않음을 증명한다. 이는 $ \mathbb{R}^2 $ 내의 특정 평면 영역에 대해 $ C_2(\Omega) > 1/4 $ 를 만족시키는 경우를 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we study Hardy's inequality in a limiting case: $$ \int_Ω | abla u |^N dx \ge C_N(Ω) \int_Ω \frac{|u(x)|^N}{|x|^N \left(\log \frac{R}{|x|} ight)^N} dx $$ for functions $u \in W^{1,N}_0(Ω)$, where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^N$ with $R = \sup_{x \in Ω} |x|$. We study the (non-)attainability of the best constant $C_N(Ω)$ in several cases. We provide sufficient conditions that assure $C_N(Ω) > C_N(B_R)$ and $C_N(Ω)$ is attained, here $B_R$ is the $N$-dimensional ball with center the origin and radius $R$. Also we provide an example of $Ω\subset \mathbb{R}^2$ such that $C_2(Ω) > C_2(B_R) = 1/4$ and $C_2(Ω)$ is not attained.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 유계 영역 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ 에서 하디 부등식의 극한 경우에 대한 최적 상수 $ C_N(\Omega) $ 를 분석하는 것.
• $ B_R $ 를 원점 중심의 반지름 $ R $ 인 구로 하였을 때, $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ 가 성립하는 조건을 규명하는 것.
• 비판적 $ L^N $-경우에서 최적 상수 $ C_N(\Omega) $ 의 도달 가능성에 대해 조사하는 것.
• $ \mathbb{R}^2 $ 내에서 $ C_2(\Omega) > 1/4 $ 이고 $ C_2(\Omega) $ 가 도달되지 않는 명시적 예를 구성하는 것.

제안 방법

• $ C_N(\Omega) $ 를 $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 내의 영이 아닌 함수들에 대해 비율 $ \frac{\int_\Omega |\nabla u|^N dx}{\int_\Omega \frac{|u|^N}{|x|^N (\log \frac{R}{|x|})^N} dx} $ 의 하한으로 정의한다.
• 변수 교체와 구면좌표를 이용하여 문제를 각도 및 반지름 도함수를 포함하는 일변수 문제로 축소한다.
• 일반화된 변분법을 적용하여 $ (0, \pi) $ 에서의 함수들에 대한 최소화 문제를 통해 최적 상수를 추정하고, 스투름-리우빌 유형의 고유값 문제로 이어진다.
• $ \mathbb{R}^2 $ 내에서 경계 근처에서 특정 각도적 행동을 가지는 영역 $ \Omega $ 를 구성하여 $ C_2(\Omega) > 1/4 $ 가 되도록 보장한다.
• 분할 적분과 형태 $ u_\alpha(\theta) = (\sin \theta)^\alpha $ 인 테스트 함수를 사용하여 하한을 추정하고, 이 값이 $ 1/4 $ 에서 위쪽으로 수렴함을 보인다.
• 임의의 최소화자가 반지름 도함수가 0이 되어야 한다는 점을 보여, 이는 영이 아닌 경계 조건과 모순됨을 증명함으로써 도달 불가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하드 부등식의 극한 경우에서 최적 상수 $ C_N(\Omega) $ 가 $ C_N(B_R) $ 보다 엄밀히 큰 조건은 무엇인가?
• RQ2 최적 상수 $ C_N(\Omega) $ 는 $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 내에서 언제 도달되는가?
• RQ3 $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ 이고 $ C_N(\Omega) $ 가 도달되지 않는 영역을 구성할 수 있는가?
• RQ4 영역의 기하학적 성질이 원점 근처와 경계 근처에서 최적성과 도달 가능성에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 특정 영역 $ \Omega \subset \mathbb{R}^2 $ 에 대해 최적 상수는 $ C_2(\Omega) > 1/4 = C_2(B_R) $ 를 만족하며, 이는 구보다 엄밀히 개선됨을 보여준다.
• 이러한 구성된 영역에 대해 최적 상수 $ C_N(\Omega) $ 는 $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 내에서 도달되지 않지만, $ C_N(B_R) $ 보다 엄밀히 크다.
• 하한 $ E = \inf \frac{\int_0^\pi (\phi_\theta)^2 d\theta}{\int_0^\pi \frac{\phi^2}{\sin^2 \theta} d\theta} $ 는 $ 1/4 $ 와 같지만, $ W^{1,2}_0(0,\pi) $ 내에서 도달되지 않는다.
• 최적 상수 $ C_N(\Omega) $ 는 $ \left(\frac{N-1}{N}\right)^N $ 으로 아래에서 유계이며, 이 값은 오직 구 $ B_R $ 에서의 극한에서만 등호가 성립한다.
• 불변성에 기반한 스케일링 불변성 $ u_\lambda(x) = \lambda^{-(N-1)/N} u\left( (|x|/R)^{\lambda-1} x \right) $ 이 분석에서 핵심적인 역할을 한다.
• 도달 불가능성은 임의의 최소화자가 반지름 방향 도함수가 0이 되어야 하며, 이는 영이 아닌 경계 조건을 만족시키기 위해 반드시 자명한 함수여야 함을 의미한다.