[논문 리뷰] Hardy-Sobolev type inequalities and their applications

Bo-Yong Chen|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 06.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 새로운 하디-소볼레프 유형 부등식을 수립하고, 이들을 활용해 특이점 집합이 컴팩트가 아닐 경우에도 허트고스 정리의 정량적 확장과 허문 함수 및 퍼텐셜 해석 함수에 대한 고유 연속성 결과를 도출한다. 또한 가중 $ L^2 $ 추정 하에 $ \bar{\nabla} $-방정정식의 해가 존재함을 증명하고, 라플라스 연산자가 일정한 감쇠 및 적분 조건을 만족할 경우 어떤 점에서 무한차수의 영을 가진 함수는 식별적으로 0이 됨을 보이며, 고전적인 고유 연속성 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to various applications of Hardy-Sobolev type inequalities. We derive a new $L^2$ estimate for the $\bar{\partial}-$equation on ${\mathbb C}^n$ which yields a quantitative generalization of the Hartogs extension theorem to the case when the singularity set is not necessary compact. We show that for any negative subharmonic function $ψ$ on ${\mathbb R}^n$, $n>2$, the BMO norm of $\log |ψ|$ is bounded above by $2\sqrt{n-2}$ and $|ψ|^γ$ satisfies a reverse Hölder inequality for every $0

연구 동기 및 목표

• 복소수 $ {\mathbb{C}}^n $ 위에서 하드-소볼레프 유형 부등식을 사용하여 $ \bar{\nabla} $-방정식에 대한 새로운 $ L^2 $ 추정을 개발한다.
• 특이점 집합이 컴팩트가 아닐 경우에도 허트고스 확장 정리의 정량적 일반화를 제공한다.
• 퍼텐셜 해석 함수에 대해 $ \nabla\bar{\nabla} $-증명을 통한 허트고스 확장 정리의 증명을 제시한다.
• $ {\mathbb{R}}^n $, $ n>2 $ 에서 음의 하모닉 함수에 대해 BMO 상한과 역 헬더 부등식을 수립한다.
• $ complete Riemannian manifold $ 위에서 하모닉 함수에 대한 리우빌 유형 정리와 덱 변환군에 대한 마르기스 유형 결과를 도출한다.

제안 방법

• 가중 하드-소볼레프 부등식을 사용하여 $ {\mathbb{C}}^n $ 위에서 $ \bar{\nabla} $-방정식에 대한 새로운 $ L^2 $ 추정을 유도한다.
• 부등식 (1.1)을 적용하여 $ \bar{\nabla}u = v $ 의 해의 $ L^2 $-노름을 $ v $ 의 쌍대-가중 노름에 따라 제어한다.
• 절단 함수를 사용한 카르멘 유형의 추론을 통해 무한차수의 영을 가진 해의 고유 연속성을 증명한다.
• 원점 근처의 성장 제어를 위해 $ |x|^{-\tau}\phi $ 와 $ |x|^{2-\tau}\Delta\phi $ 를 포함하는 가중 소볼레프 유형 부등식을 수립한다.
• 횔더 부등식과 보간을 적용하여 $ |x|^{1-\tau}\phi $ 의 가중 $ L^\alpha $-노름을 $ \nabla\phi $ 와 $ \Delta\phi $ 의 $ L^2 $-노름에 따라 제어한다.
• 기울기와 라플라스 연산자의 $ L^2 $-노름이 제어 가능한 절단 함수 $ \chi_\varepsilon $ 를 구성하여 국소화 추정을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 노름의 데이터에 따라 $ L^2 $ 추정이 성립하는 $ \bar{\nabla} $-방정식의 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특이점 집합이 비콤팩트일 경우 허트고스 확장 정리의 정량적 일반화가 가능한가?
• RQ3 $ {\mathbb{R}}^n $, $ n>2 $ 에서 $ \psi $ 가 음의 하모닉 함수일 때 $ \log|\psi| $ 의 최선의 BMO 노름 상한은 무엇인가?
• RQ4 $ {\mathbb{C}}^n $ 위의 모든 퍼텐셜 하모닉 함수가 국소적으로 BMO 공간에 속하는가?
• RQ5 가중 적분 조건 하에 $ |\Delta u| \leq \omega^{1/\alpha}\omega' |u| $ 를 만족하는 해에 대해 어떤 고유 연속성 성질이 성립하는가?

주요 결과

• $ {\mathbb{R}}^n $, $ n>2 $ 에서 음의 하모닉 함수 $ \psi $ 에 대해 $ \log|\psi| $ 의 BMO 노름은 $ 2\sqrt{n-2} $ 이하로 유계이다.
• $ 0 < \gamma < 1 $ 에 대해 모든 $ |\psi|^\gamma $ 는 $ {\mathbb{R}}^n $, $ n>2 $ 에서 역 헬더 부등식을 만족한다.
• $ {\mathbb{C}}^n $ 위의 모든 퍼텐셜 하모닉 함수는 국소적으로 BMO 공간에 속한다.
• $ {\mathbb{C}}^n $ 의 유계 영역이 사영 다양체의 자리지 열린 집합을 덮는다면, 덱 변환군의 중심은 자명하다.
• $ \Delta u| \leq \omega^{1/\alpha}\omega' |u| $ 를 만족하고 0에서 무한차수의 영을 가진 해 $ u $ 는 (9.8)과 (9.9)가 성립할 경우 이웃에서 식별적으로 0이 된다.
• $ \bar{\nabla}u = v $ 의 해 $ u $ 는 가중 부등식 (1.4) 하에 $ \|u\|_2 \leq 2\sqrt{2}\|v\|_{\omega^{-\alpha' / \alpha}, \alpha'} $ 를 만족한다.