[논문 리뷰] Hardy spaces associated with Schrodinger operators on the Heisenberg group

Chin-Cheng Lin, Heping Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 24.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 히젠베르크 군 $\mathbb{H}^n$ 위의 슈뢰딩거 연산자 $L = -\Delta_{\mathbb{H}^n} + V$ 와 관련된 새로운 하드리 공간 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$를 제시한다. 이 공간은 반군 $\{e^{-sL}\}_{s>0}$ 의 최대함수를 통해 정의되며, $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 에 대한 원자 분해를 확립하고, 리프스 변환 $R^L_j = X_j L^{-1/2}$ 의 $L^1$-유계성을 통해 이 공간이 유클리드 공간에서의 결과를 비유클리드적 구조인 히젠베르크 군으로 확장함을 증명한다.

ABSTRACT

Let $L= -Δ_{\mathbb{H}^n}+V$ be a Schrödinger operator on the Heisenberg group $\mathbb{H}^n$, where $Δ_{\mathbb{H}^n}$ is the sub-Laplacian and the nonnegative potential $V$ belongs to the reverse Hölder class $B_{\frac{Q}{2}}$ and $Q$ is the homogeneous dimension of $\mathbb{H}^n$. The Riesz transforms associated with the Schrödinger operator $L$ are bounded from $L^1(\mathbb{H}^n)$ to $L^{1,\infty}(\mathbb{H}^n)$. The $L^1$ integrability of the Riesz transforms associated with $L$ characterizes a certain Hardy type space denoted by $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ which is larger than the usual Hardy space $H^1(\mathbb{H}^n)$. We define $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ in terms of the maximal function with respect to the semigroup $\big \{e^{-s L}:\; s>0 \big\}$, and give the atomic decomposition of $H^1_L(\mathbb{H}^n)$. As an application of the atomic decomposition theorem, we prove that $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ can be characterized by the Riesz transforms associated with $L$. All results hold for stratified groups as well.

연구 동기 및 목표

• 히젠베르크 군 위의 슈뢰딩거 연산자와 관련된 새로운 하드리 공간 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 를 정의하고 특성화하기.
• 모든 $1 < q \leq \infty$ 에 대해 $H^{1,q}_L$-원자를 사용하여 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 의 원자 분해를 확립하기.
• 연도 $L$ 과 관련된 리프스 변환 $R^L_j$ 가 $L^1$-유계성을 통해 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 를 특성화할 수 있음을 증명하기.
• 동일한 프레임워크를 사용하여 일반적인 계층적 군으로 이론을 확장하기.

제안 방법

• 최대함수 $M^L f(x) = \sup_{s>0} |e^{-sL}f(x)|$ 를 통해 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 를 정의하기.
• 공역이 구 위에 있고, $L^q$-노름이 제어되며, $r < \rho(x_0)$ 일 때 상쇄 조건을 만족하는 $H^{1,q}_L$-원자를 구성하기.
• 반군 $e^{-sL}$ 과 리프스 변환 $R^L_j$ 의 커널 추정을 사용하여 약한 유형 $(1,1)$ 유계성 증명하기.
• 함수를 $f = \tilde{f} + (f - \tilde{f})$ 로 분해하여 $H^1_L$ 을 국소 하드리 공간 $h^1(\mathbb{H}^n)$ 과 연결하기.
• 크리스트와 게러의 결과를 활용하여 계층적 군 위에서 $H^1$ 의 리프스 변환 특성화 적용하기.
• $R^L_j$ 의 약한 유형 $(1,1)$ 유계성을 증명하여 $H^1_L$-에서 $L^1$ 으로의 유계성 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반군 최대함수를 사용하여 히젠베르크 군 위의 슈뢰딩거 연산자에 대해 하드리 공간 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 원자 분해 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 는 고전적 원자 분해와 어떻게 다를까?
• RQ3 연도 $L$ 과 관련된 리프스 변환 $R^L_j$ 가 $L^1$-유계성을 통해 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 을 특성화할 수 있는가?
• RQ4 $Q/2 \leq q < Q$ 일 때 $R^L_j$ 의 $L^p$-유계성에 대한 $p$ 의 범위가 최적이 되는가?
• RQ5 이 결과들이 일반적인 계층적 군으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 하드리 공간 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 은 $M^L f$ 가 $L^1(\mathbb{H}^n)$ 에 속하는 $L^1(\mathbb{H}^n)$ 함수들의 집합으로 정의되며, 노름은 $\|f\|_{H^1_L} = \|M^L f\|_{L^1}$ 이다.
• 원자 분해는 $r < \rho(x_0)$ 일 때 상쇄 조건을 만족하는 $H^{1,q}_L$-원자를 사용하여 확립되었으며, $\|f\|_{H^1_L} \sim \inf \sum_j |\lambda_j|$ 는 원자 분해에 대한 무게의 합의 하한이다.
• $R^L_j$ 는 $L^1(\mathbb{H}^n)$ 에서 $L^{1,\infty}(\mathbb{H}^n)$ 로 유계이며, $f \in H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 이다 하는 것과 $f \in L^1(\mathbb{H}^n)$ 이고 모든 $j$ 에 대해 $R^L_j f \in L^1(\mathbb{H}^n)$ 인 것이 동치이다.
• $\|f\|_{H^1_L} \sim \|f\|_{L^1} + \sum_{j=1}^{2n} \|R^L_j f\|_{L^1}$ 의 특성화 공식이 성립하여, $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ 의 리프스 변환 특성화가 확인된다.
• $R^L_j$ 의 $L^p$-유계성에 대한 $p$ 의 범위는 논문 내의 반례를 통해 최적이 됨을 보였다.
• 모든 결과는 동일한 추론을 사용하여 일반적인 계층적 군으로 확장되며, 그 환경에서 커널 추정과 함수 해석학이 성립하기 때문이다.