[논문 리뷰] Hardy spaces of Dirichlet series and pseudomoments of the Riemann zeta function

Andriy Bondarenko, Ole Fredrik Brevig외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 24.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 하드리 공간 이론과 확률적 추정 기법을 활용하여 임계선 상의 리만 제타 함수의 허수모멘트(pseudomoments)를 조사한다. $k < 1/e$ 이고 $N$ 이 충분히 클 때, $2k$차 허수모멘트의 하한이 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 를 초과함을 입증한다. 주요 결과는 이전 추정치를 향상시키고, 작은 $k$ 에서 예상치 못한 성장 행동을 드러내는 개선된 점근적 하한을 제공한다.

ABSTRACT

The $2$kth pseudomoments of the Riemann zeta function $\zeta(s)$ are, following Conrey and Gamburd, the $2k$th integral moments of the partial sums of $\zeta(s)$ on the critical line. For fixed $k>1/2$, these moments are known to grow like $(\log N)^{k^2}$, where $N$ is the length of the partial sum, but the true order of magnitude remains unknown when $k\le 1/2$. We deduce new Hardy--Littlewood inequalities and apply one of them to improve on an earlier asymptotic estimate when $k o\infty$. In the case $k 1$ and the question of whether the lower bound $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ known from earlier work yields the true growth rate. Using ideas from recent work of Harper, Nikeghbali, and Radziwi{ll} and some probabilistic estimates of Harper, we obtain the somewhat unexpected result that these pseudomements are bounded below by $\log N$ to a power larger than $k^2\alpha^2$ when $k<1/e$ and $N$ is sufficiently large.

연구 동기 및 목표

• 임계선 상에서 $k \leq 1/2$ 인 경우 리만 제타 함수의 $2k$차 허수모멘트의 진정한 크기 주도를 규명하는 것.
• 신규 하드리–리틀우드 부등식을 적용하여 기존 점근적 추정치를 향상시키는 것.
• 기존 하한 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 가 $k < 1/e$ 인 경우 진정한 성장률을 정확히 반영하는지 조사하는 것.
• 하프, 니케그바리, 라드지빌의 최근 확률적 추정치가 허수모멘트 행동에 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 저자들은 하드리 공간 이론을 활용하여 임계선 상에서 $\zeta(s)$의 부분합의 $L^{2k}$-노름을 분석한다.
• 이러한 하드리 공간의 구조에서 유도된 새로운 하드리–리틀우드 부등식을 적용하여 허수모멘트의 하한을 구한다.
• 하프, 니케그바리, 라드지빌의 최근 연구에서 유래한 확률적 기법을 활용하여 $\zeta(s)$의 부분합의 일반적인 크기를 추정한다.
• 분석은 리만 가설과 가장 밀접하게 관련된 리만 제타 함수의 행동이 가장 복잡한 임계선 $\Re(s) = 1/2$ 에 집중된다.
• 이 방법은 부분합의 $L^{2k}$-노름을 그들의 $2k$차 모멘트 기대값과 비교함으로써, 이를 허수모멘트로 해석하는 것을 포함한다.
• 모멘트 비교와 尾부 추정 기법을 사용하여, $k < 1/e$ 인 경우 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 를 초월하는 더 빠른 성장률을 보이는 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 하한 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 는 $k < 1/e$ 인 경우 $2k$차 허수모멘트의 진정한 성장률을 정확히 반영하는가?
• RQ2 하드리 공간 이론에서 유도된 새로운 하드리–리틀우드 부등식이 허수모멘트의 점근적 추정치 향상에 기여하는가?
• RQ3 특히 작은 $k$ 에서 $k \leq 1/2$ 인 경우 $2k$차 허수모멘트의 실제 크기 주도는 무엇인가?
• RQ4 하프, 니케그바리, 라드지빌의 최근 확률적 추정치는 허수모멘트 성장에 대한 이해에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• $k < 1/e$ 이고 충분히 큰 $N$ 에 대해 $\zeta(s)$의 $2k$차 허수모멘트는 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 를 초월하는 $\log N$ 의 거듭제곱으로 하한이 존재한다.
• 이 하한은 이전에 알려진 하한을 초월하여, 작은 $k$ 에서 진정한 성장률이 $k^2\alpha^2$ 보다 더 크다는 것을 시사한다.
• 새로운 하드리–리틀우드 부등식의 적용은 허수모멘트에 대한 더 날카로운 점근적 추정치를 이끌어낸다.
• 결과는 놀라운데, 이는 $k < 1/e$ 인 경우 기존에 추측된 비율보다 허수모멘트가 더 빠르게 성장한다는 것을 보여주며, 이전의 가정을 도전한다.
• 분석은 하프, 니케그바리, 라드지빌의 확률적 추정치가 이 더 강력한 하한을 탐지하는 데 핵심적인 역할을 한다는 것을 확인한다.
• 이 연구는 $k \leq 1/2$ 인 경우 $k < 1/e$ 이면 허수모멘트의 진정한 크기 주도가 $k^2\alpha^2$ 보다 더 크다는 증거를 제공한다.