[논문 리뷰] Harmonic Analysis and Gamma Functions on Symplectic Groups

Dihua Jiang, Zhilin Luo외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 15.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 국소체 위에서 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 및 그 확장 $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$에 대한 새로운 조화 해석을 제시하며, 그라스만이안에서의 콪actification과 배치 방법을 사용하여 푸리에 연산자와 라ング랜즈 $\gamma$-함수 및 $L$-함수를 실현하는 기본 함수를 구성한다. 주요 결과는 쾰든 공간 내에서 유일한 $K$-불변 기본 함수를 구성하고, 이 함수가 푸리에 연산자에 대해 불변이며, 제타 적분이 표준 $L$-함수를 주는 것이다.

ABSTRACT

Over a $p$-adic local field $F$ of characteristic zero, we develop a new type of harmonic analysis on an extended symplectic group $G={\mathbb G}_m imes{\mathrm Sp}_{2n}$. It is associated to the Langlands $γ$-functions attached to any irreducible admissible representations $χ\otimesπ$ of $G(F)$ and the standard representation $ρ$ of the dual group $G^\vee({\mathbb C})$, and confirms a series of the conjectures in the local theory of the Braverman-Kazhdan proposal for the case under consideration. Meanwhile, we develop a new type of harmonic analysis on ${ m GL}_1(F)$, which is associated to a $γ$-function $β_ψ(χ_s)$ (a product of $n+1$ certain abelian $γ$-functions). Our work on ${ m GL}_1(F)$ plays an indispensable role in the development of our work on $G(F)$. These two types of harmonic analyses both specialize to the well-known local theory developed in Tate's thesis when $n=0$. The approach is to use the compactification of ${ m Sp}_{2n}$ in the Grassmannian variety of ${ m Sp}_{4n}$, with which we are able to utilize the well developed local theory of Piatetski-Shapiro and Rallis and many other works) on the doubling local zeta integrals for the standard $L$-functions of ${ m Sp}_{2n}$. The method can be viewed as an extension of the work of Godement-Jacquet for the standard $L$-function of ${ m GL}_n$ and is expected to work for all classical groups. We will consider the archimedean local theory and the global theory in our future work.

연구 동기 및 목표

• $p$-진 체 위에서 $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$에 대한 새로운 조화 해석을 개발하여 테이트의 논문을 고계수 군으로 일반화한다.
• 제타 적분과 푸리에 연산자를 통해 $\chi \otimes \pi$에 대한 라ング랜즈 $\gamma$-함수와 표준 $L$-함수를 실현한다.
• 심플렉틱 군에 대한 국소 이론에서 브라바르만-카즈단 추측을 확인한다.
• 피아테츠키-샤피로-라리스의 배치 이론을 활용하여 고전 군에 대한 고데멘트-자키 메서드를 확장한다.
• 푸리에 연산자에 대해 불변이면서 제타 적분이 표준 $L$-함수를 주는 쾰든 공간 내 기본 함수를 구성한다.

제안 방법

• $\mathrm{Sp}_{2n}$의 $\mathrm{Sp}_{4n}$의 그라스만이안에서의 콩 pactification을 사용하여, 배치 제타 적분이 표준 $L$-함수와 관련됨을 밝힌다.
• 피아테츠키-샤피로와 라리스의 $\mathrm{Sp}_{2n}$에 대한 배치 제타 적분의 국소 이론을 적용하여 $\gamma$-함수와 $L$-함수를 정의한다.
• $\mathrm{GL}_1(F)$ 위에 새로운 $\gamma$-함수 $\beta_\psi(\chi_s)$를 도입하며, 이는 $n+1$개의 아벨 $\gamma$-함수의 곱이다.
• $\mathcal{S}_\rho(G)$ 위에 푸리에 연산자 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$를 정의하고, 이 연산자가 통합 연산자 $\mathrm{M}_{w_\Delta}^\dagger(s,\chi,\psi)$와 호환됨을 증명한다.
• 메린의 역공식과 $K$-불변 절단의 유일성을 이용하여 쾰든 공간 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 내 기본 함수 $\mathbb{L}_\rho$를 구성한다.
• $\mathcal{S}^\pm_{\mathrm{pvs}}(F^\times)$의 팔레이-위너 정리를 확립하여 제타 적분의 수렴성과 해석적 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 위에서의 조화 해석은 어떻게 발전시켜 제타 적분을 통해 표준 $L$-함수를 실현할 수 있는가?
• RQ2 $\mathrm{GL}_1(F)$ 위의 $\gamma$-함수 $\beta_\psi(\chi_s)$는 확장된 군의 조화 해석에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 푸리에 연산자 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$는 $L$-함수의 맥락에서 통합 연산자 $\mathrm{M}_{w_\Delta}^\dagger(s,\chi,\psi)$와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 내에서 $K$-불변 기본 함수 $\mathbb{L}_\rho$를 구성할 수 있는가? 이 함수의 제타 적분이 표준 $L$-함수를 주는가?
• RQ5 기본 함수 $\mathbb{L}_\rho$는 푸리에 연산자 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$의 작용을 보존하는가?

주요 결과

• 유일한 $K_G$-불변 기본 함수 $\mathbb{L}_\rho$가 쾰든 공간 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 내에 존재하며, 제타 적분 $\mathcal{Z}(s, \mathbb{L}_\rho, \varphi_\circ)$가 표준 $L$-함수 $L(s, \chi \otimes \pi, \rho)$와 일치한다.
• 푸리에 연산자 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$는 기본 함수 $\mathbb{L}_\rho$를 보존한다. 즉, $\mathcal{F}_{\rho,\psi}(\mathbb{L}_\rho) = \mathbb{L}_\rho$이며, 이는 푸리에 변환에 대해 불변임을 확인한다.
• $\mathbb{L}_\rho$의 구성은 유일한 $K_\Delta$-불변 절단 $b_{2n}(s,\chi) f_{\chi_s}^\circ$에 기반하며, 이는 배치 제타 적분을 통해 $L$-함수와 대응된다.
• $\mathrm{GL}_1(F)$ 위의 $\gamma$-함수 $\beta_\psi(\chi_s)$는 $n+1$개의 아벨 $\gamma$-함수의 곱임을 보이고, 섬유 적분과 통합 연산자를 통해 함수방정식을 확립한다.
• $G = \mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 위의 조화 해석은 $n = 0$일 때 테이트의 논문으로 특수화되어 고전 이론과의 일致성을 확인한다.
• 이 방법은 고데멘트-자키 접근법을 고전 군으로 확장하며, 동일한 콩 pactification과 배치 프레임워크를 사용하여 모든 고전 군으로 일반화될 것으로 예상된다.