[논문 리뷰] Harmonic maps and representations of non-uniform lattices of PU(m,1)

Vincent Koziarz, Julien Maubon|arXiv (Cornell University)|2003. 09. 11.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 복소 hyperbolic 공간 H^m_C에서 H^n_C로의 유한 에너지 조화 등변 매핑을 구성하여, PU(m,1)의 비균일 격자 표현에 대한 강성에 대한 미분기하학적 증명을 수립한다. 핵심 결과는 최대 Burger-Iozzi 불변량을 가질 경우 표현이 C-푸앵카레임을 의미하며, 이는 토울레도의 결과를 비균일 격자로 일반화하고, 음의 오일러 특성수를 가진 표면 군에 대한 새로운 불변량을 제공한다.

ABSTRACT

We study representations of lattices of PU(m,1) into PU(n,1). We show that if a representation is reductive and if m is at least 2, then there exists a finite energy harmonic equivariant map from complex hyperbolic m-space to complex hyperbolic n-space. This allows us to give a differential geometric proof of rigidity results obtained by M. Burger and A. Iozzi. We also define a new invariant associated to representations into PU(n,1) of non-uniform lattices in PU(1,1), and more generally of fundamental groups of orientable surfaces of finite topological type and negative Euler characteristic. We prove that this invariant is bounded by a constant depending only on the Euler characteristic of the surface and we give a complete characterization of representations with maximal invariant, thus generalizing the results of D. Toledo for uniform lattices.

연구 동기 및 목표

• 비균일 격자 PU(m,1)의 표현 강성 증명을 위한 유계 코hom로지의 대체로 미분기하학적 접근을 제공한다.
• 음의 오일러 특성수를 가진 표면의 기본군의 PU(n,1)로의 표현에 대해 새로운 불변량 τ(ρ)를 정의한다.
• 이 불변량의 최대값을 갖는 표현을 특성화하고, 균일 격자를 초월하여 토울레도의 결과를 일반화한다.
• 최대 불변량이 표현이 C-푸앵카레임임을 의미함을 증명한다. 즉, H^n_C 내에 H^m_C의 전체 지오데식 복사본을 안정화한다.

제안 방법

• m≥2인 경우, 비균일 격자 PU(m,1)의 재조합 표현 ρ에 대해 H^m_C에서 H^n_C로의 유한 에너지 ρ-등변 조화 매핑을 구성한다.
• Γ\H^m_C 위의 켈러 형식과 H^n_C의 끌림 형식의 풍선을 통합한 L^2-적분으로서 Burger-Iozzi 불변량 τ(ρ)를 정의한다.
• 경계 근처의 절단 함수와 켈러 포텐셜을 사용하여 비콤팩트 몫을 다루고, 기본 영역 위에서 적분을 통해 불변량을 계산한다.
• 복소 켤레와 쌍곡 등급 변환에 대한 대칭성과 등변성을 활용하여 이중 덮개 위의 적분을 연결하고 불변성 성질을 확립한다.
• 조화 매핑의 존재를 적용하여 최대 τ(ρ)일 경우 H^n_C 내에 ρ-등변 등거리 임베딩의 존재를 유도한다.
• 재조합 표현에 대해 유한 에너지 조화 매핑이 존재한다는 사실을 활용하여, 강성 문제를 대칭 공간 위의 기하 해석 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PU(m,1)의 비균일 격자 표현 ρ가 H^n_C로의 유한 에너지 ρ-등변 조화 매핑을 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 음의 오일러 특성수를 가진 표면 군 표현에 대해 Burger-Iozzi 불변량 τ(ρ)의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ3 τ(ρ)의 최대값은 어떻게 특성화할 수 있으며, 이는 표현이 C-푸앵카레임임을 의미하는가?
• RQ4 유한 에너지 조화 매핑의 존재는 ρ의 상이 H^n_C 내에 H^m_C의 전체 지오데식 복사본을 안정화함을 의미하는가?
• RQ5 이중 덮개와 같은 커버링 구성에서 새로운 불변량 τ(ρ)는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 모든 재조합 표현 ρ에 대해, m≥2인 비균일 격자 PU(m,1)에서 PU(n,1)로의 표현에 대해 H^m_C에서 H^n_C로의 유한 에너지 ρ-등변 조화 매핑이 존재한다.
• Burger-Iozzi 불변량 τ(ρ)는 Vol(Γ\H^m_C)에 의해 상한으로 제한되며, 등호가 성립하는 것은 ρ가 C-푸앵카레임임과 동치이다.
• 음의 오일러 특성수를 가진 표면 군의 경우, 불변량 τ(ρ)는 오직 오일러 특성수에 의존하는 상수에 의해 제한되며, 최대값은 정확히 표면의 균일화 표현일 때 도달된다.
• 이중 덮개 표현에 대해 τ(2ρ) = -2πχ(2M)를 만족하며, 이는 최대성과 ρ-등변 등거리 사상의 존재를 확인한다.
• 조화 매핑의 구성은 이전 연구에서 사용된 유계 코호몰로지 기법을 대체하는 미분기하학적 강성 증명을 제공한다.
• 논문은 토울레도의 최대 불변량 특성화를 비균일 격자와 표면 군으로 일반화하여, 최대성에 대한 완전한 기하 기준을 수립한다.