[논문 리뷰] Harmonic morphisms between almost Hermitian manifolds

Sigmundur Gudmundsson, Jonathan Wood|ArXiv.org|1995. 12. 18.

Geometry and complex manifolds인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 거의 허미션 군만의 사이클로이드에 대한 허미션 맵이 조화형 사상이 되는 조건을 설정하며, 레이 형식과 섬유의 수퍼미니멀성의 역할에 초점을 맞춘다. 주요 기여는 수퍼미니멀한 섬유와 수평 분포에 대한 특정 브라켓 조건을 만족할 경우, 허미션 다양체로의 허미션 맵이 그 도메인에 대한 적분 가능한 거의 복소 구조를 유도한다는 충분조건을 제시하는 것이다. 이는 기존의 조화형 사상과 켈러 구조에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We obtain conditions on the Lee form under which a holomorphic map between almost Hermitian manifolds is a harmonic map or morphism. Then we discuss under what conditions (i) the image of a holomorphic map from a cosymplectic manifold is also cosymplectic, (ii) a holomophic map with Hermitian image defines a Hermitian structure on its domain.

연구 동기 및 목표

• 거의 허미션 다양체 사이의 허미션 맵이 조화형 사상 또는 조화형 사상이 되는 조건을 레이 형식에 대해 결정하는 것.
• 코심플렉틱 다양체에서의 허미션 맵의 상이 코심플렉틱이 되는 조건을 조사하는 것.
• 허미션 이미지를 가진 허미션 맵이 도메인에 대해 적분 가능한 허미션 구조를 유도하는 조건을 설정하는 것.
• 특히 복소 차원 2와 1차원 섬유에 대해 조화형 사상과 켈러 구조에 대한 기존 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 장력 장과 당김 접속을 사용하여, 장력 장의 영과 당겨진 조화 함수의 당김을 통해 조화형 사상과 조화형 사상을 정의한다.
• 조화형 사상이 수평적으로 약한 등각성인 조화형 사상으로서의 특성화를 적용하며, 확대와 수평 동치의 역할에 중점을 둔다.
• 국소 허미션 기저와 복소화된 접속 벡터 장을 사용하여 접속 장을 (1,0) 및 (0,1) 유형으로 분해하는 복소 분해를 분석한다.
• 거의 복소 구조 J와 레이 형식의 발산을 사용하여 조화성과 사상 성질을 유도하는 조건을 도출한다.
• 섬유의 수퍼미니멀성(섬유를 따라 J가 평행)과 수평 분포에 대한 기하적 제약 조건을 도입하여, 거의 복소 구조의 적분 가능성을 보장한다.
• 후글레드와 이시하라의 정리를 적용하여, 섬유의 최소성과 수평 동치가 조화형 사상 성질과 관련이 있음을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 허미션 다양체 사이의 허미션 맵이 조화형 사상이 되기 위한 레이 형식에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 코심플렉틱 다양체에서의 허미션 맵의 상이 코심플렉틱이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 허미션 이미지를 가진 허미션 맵이 도메인에 대해 적분 가능한 허미션 구조를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 섬유와 수평 분포에 대한 기하적 조건은 무엇인가? 이는 도메인 다양체의 거의 복소 구조의 적분 가능성을 보장하는가?

주요 결과

• 거의 허미션 다양체에서 허미션 다양체로의 허미션 맵이 복소 1차원 섬유를 가지면, 그 맵이 조화형 사상이 되는 것은 섬유가 수퍼미니멀이면서 수평 분포가 특정한 브라켓 조건을 만족할 때에 한하여 성립한다: $[{ m H}^{1,0},{ m H}^{1,0}]^{ m V} \subset {\rm V}^{1,0}$.
• 섬유가 수퍼미니멀이면서 수평 분포가 브라켓 조건 $[{ m H}^{1,0},{ m H}^{1,0}]^{ m V} \subset {\rm V}^{1,0}$을 만족하면, 도메인 다양체에 존재하는 거의 복소 구조 $J$의 적분 가능성이 보장된다.
• 항등형 맵 $\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}P^n$은 이 정리가 적용되는 예를 제공한다: 섬유는 수퍼미니멀이며 브라켓 조건도 만족하므로, $\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\}$에 올린 거의 허미션 구조는 적분 가능하다. 이 중 하나는 켈러이고 다른 하나는 아니다.
• 복소 차원 2에서, 허미션 다양체에서 리만 표면으로의 허미션 맵은 정규점에서 섬유가 수퍼미니멀일 때에만 조화형 사상이 된다. 이는 [25]에서 얻은 결과를 복원한다.
• 브라켓 조건 $[{ m H}^{1,0},{ m H}^{1,0}]^{ m V} \subset {\rm V}^{1,0}$은 수평 분포가 적분 가능하거나 타겟이 복소 1차원일 경우에 항상 만족된다. 이 두 경우 모두 정리가 적용됨을 의미한다.
• 계량의 복소 이중선형 확장과 수직 (1,0)-장에 대해 $\langle V,V\rangle$의 영성은 Lie 브라켓 $[V,Z^*]$가 $T^{1,0}M$에 속한다는 것을 보여주며, 이는 적분 가능성을 유지한다.