[논문 리뷰] Hasse Diagrams for Gapless SPT and SSB Phases with Non-Invertible Symmetries

Lakshya Bhardwaj, Daniel Pajer외 2명|arXiv (Cornell University)|2024. 03. 01.

Molecular spectroscopy and chirality인용 수 15

한 줄 요약

본 논문은 Drinfeld centers 내의 응축가능 대수의 해스 도표를 구성하여 Fusion-범주 대칭성(비가역성을 포함)을 가진 1+1D의 gapless/ gapped 위상을 분류하고, 고유의 gapless SPT/SSB 위상을 도입하며 Rep(D8)에 대한 최초의 igSPT를 포함한 구체적 예를 제시한다.

ABSTRACT

We discuss (1+1)d gapless phases with non-invertible global symmetries, also referred to as categorical symmetries. This includes gapless phases showing properties analogous to gapped symmetry protected topological (SPT) phases, known as gapless SPT (or gSPT) phases; and gapless phases showing properties analogous to gapped spontaneous symmetry broken (SSB) phases, that we refer to as gapless SSB (or gSSB) phases. We fit these gapless phases, along with gapped SPT and SSB phases, into a phase diagram describing possible deformations connecting them. This phase diagram is partially ordered and defines a so-called Hasse diagram. Based on these deformations, we identify gapless phases exhibiting symmetry protected criticality, that we refer to as intrinsically gapless SPT (igSPT) and intrinsically gapless SSB (igSSB) phases. This includes the first examples of igSPT and igSSB phases with non-invertible symmetries. Central to this analysis is the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT), where each phase corresponds to a condensable algebra in the Drinfeld center of the symmetry category. On a mathematical note, gSPT phases are classified by functors between fusion categories, generalizing the fact that gapped SPT phases are classified by fiber functors; and gSSB phases are classified by functors from fusion to multi-fusion categories. Finally, our framework can be applied to understand gauging of trivially acting non-invertible symmetries, including possible patterns of decomposition arising due to such gaugings.

연구 동기 및 목표

• (1+1)d 위상에서 범주 대칭을 포함하는 위상 다이어그램 프레임워크(Hasse 도표)를 개발한다(갭이 있는 SPT/SSB 위상과 갭리스 SPT/SSB 위상 포함).
• Symmetry Topological Field Theory (SymTFT)를 사용하여 위상을 Drinfeld 중심 Z(S)의 응축가능 대수로 인코딩한다.
• 비가역적 Fusion-범주 대칭성에 대해 gSPT/igSPT 및 gSSB/igSSB 분류를 일반화한다.
• Vec(S3), Rep(D8) 및 비가역적 구조를 갖는 Rep(D8)와 같은 특정 대칭성에 대해 구체적인 계산과 예를 제공한다.

제안 방법

• S가 대칭인 d차 이론에 대해 대칭 경계와 물리적 경계가 있는 구간으로서의 SymTFT를 설명한다.
• S-대칭 위상을 Drinfeld 중심 Z(S)의 응축가능 대수 A로 분류하고 A1 ≤ A2일 때 A1이 A2의 부분대수일 때 부분 순서를 부과한다.
• 벌크 위상결정의 구간 압축으로 위상 전하를 구성한다; 전하는 Z(S)의 객체에 의해 표기되며 경계에서의 라그랑주 대수에 의해 제약된다.
• 갭이 있는 위상과 갭리스 위상을 구분할 때 대응하는 응축가능 대수가 최대(라그랑주)인지 여부로 구분한다.
• Deformation으로 인해 갭이 있는 대응 가능한(gapped) 위상으로의 연결이 없는 고유의 gapless SPT(igSPT) 및 고유의 gapless SSB(igSSB) 위상을 소개하고 식별한다.
• 예시로 Z4 gSPT 및 Rep(D8) gSPT/SSB와 같은 사례의 명시적 계산을 제공하여 해스 도표 구조를 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 S-대칭(gapped 및 gapless) 위상을 응축가능 대수로써 포괄적 부분순서 프레임워크로 어떻게 조직할 수 있는가?
• RQ2 내재적 gapless 위상(igSPT/igSSB)이 무엇이며 해스 도표 안에서 어떻게 탐지될 수 있는가?
• RQ3 비가역적(퓨전 범주) 대칭성이 SPT/SSB 분류 및 관련 위상 경계에 어떤 변화를 가져오는가?
• RQ4 Rep(D8) 및 그 친족들처럼 비가역 대칭성에 대한 igSPT/igSSB의 구체적 사례는 무엇이며 IR/UV에서 전하가 어떻게 실현되는가?
• RQ5 SymTFT와 응축가능 대수 데이터가 (1+1)d 시스템의 대칭 갭 Δ_S 및 일반 갭 Δ를 어떻게 인코딩하는가?

주요 결과

• 퓨전-범주 대칭성에 대해 갭리스 및 갭이 있는 SPT/SSB 위상을 분류하는 단일한 해스 도표 프레임워크를 제시한다.
• 내재적 gapless SPT(igSPT) 및 내재적 gapless SSB(igSSB) 위상의 식별, 비가역 대칭 Rep(D8)에 대한 최초의 igSPT를 포함한 중요한 발견.
• 위상 구조가 Z(S) 내 응축가능 대수와 대칭 경계 L_S와의 교차로부터 읽힐 수 있으며, 구체적인 위상 유형(gSPT, igSPT, gSSB, igSSB)을 도출한다.
• Vec(S3), Rep(D8), Rep(D8m) 등에 대한 명시적 분석은 비가역 대칭성도 igSPT 위상을 허용하고 더 풍부한 해스 구조를 산출함을 보여준다.
• SymTFT 구성은 대칭 경계와 물리 경계의 끝낼 수 있는 어떤온(anyon)들로 하여금 전하와 차원 매개변수를 구성하게 하며, 대칭 갭 Δ_S와 스펙트럼 갭 Δ를 명확히 구분한다.
• 같은 SymTFT를 가지는 S에서 S'로 바뀌더라도 해스 도표 구조는 변하지 않지만 위상 해석은 달라진다.