[논문 리뷰] $\hat{G}$-invariant quasimorphisms and symplectic geometry of surfaces

Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 25.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 군 $Ģ{G}$ 의 정규부분군 $G$ 에서의 $Ģ{G}$-불변 준형사상들을 도입하여, $(Ģ{G},G)$-공역 길이에 대한 바바르드 유형의 이중성 관계를 수립한다. 이 틀을 심플렉틱 기하학에 적용하여, 고계수 표면에서 플럭스 호모모르피즘의 단면이 존재하지 않음을 증명하고, 파이의 칼라비 준형사상과 엔토프-폴터비치의 부분 칼라비 준형사상이 전체 심플렉틱형사상군으로 확장될 수 없음을 보인다.

ABSTRACT

Let $\hat{G}$ be a group and $G$ its normal subgroup. In this paper, we study $\hat{G}$-invariant quasimorphisms on $G$ which appear in symplectic geometry and low dimensional topology. As its application, we prove the non-existence of a section of the flux homomorphism on closed surfaces of higher genus. We also prove that Py's Calabi quasimorphism and Entov-Polterovich's partial Calabi quasimorphism are non-extendable to the group of symplectomorphisms. We show that Py's Calabi quasimorphism is the unique non-extendable quasimorphism to some group.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 위상수학과 저차원 위상수학에서의 응용을 동기로 삼아, 군 $Ģ{G}$ 의 정규부분군 $G$ 에서의 $Ģ{G}$-불변 준형사상 이론을 개발한다.
• 바바르의 이중성과 유사한 이중성 정리를 수립하여, $(Ģ{G},G)$-공역 길이와 $Ģ{G}$-불변 준형사상 간의 관계를 규명한다.
• 특히 심플렉틱군과 플럭스 호모모르피즘의 맥락에서 준형사상의 확장 문제를 다룬다.
• 고계수 표면에서 플럭스 호모모르피즘의 단면이 존재하지 않음을, $Ģ{G}$-불변 준형사상의 구조를 이용하여 증명한다.
• 파이의 칼라비 준형사상과 엔토프-폴터비치의 부분 칼라비 준형사상이 전체 심플렉틱형사상군으로 확장될 수 없음을 보이고, 파이의 준형사상이 특정 클래스 내에서 유일한 비확장 가능한 준형사상임을 밝힌다.

제안 방법

• 요소 $Ģ{G}$ 의 원소에 의한 코너제이션에 대해 불변인, $G$ 위의 동차 준형사상으로서의 $Ģ{G}$-불변 준형사상들을 정의하며, 그들의 호모모르피즘으로부터의 이탈 정도를 측정하는 정의역 $D(\phi)$ 를 사용한다.
• $x \in [\u0122{G},G]$ 에 대해, $\u0122{G}$ 의 원소에 의한 코너제이션을 포함하는 일반화된 $(\u0122{G},G)$-공역 길이 $\mathrm{cl}_{\u0122{G},G}(x)$ 를 도입한다.
• 바바르 유형의 이중성 정리를 증명한다: $\mathrm{scl}_{\u0122{G},G}(x) = \sup_{\phi \in Q(G)^{\u0122{G}}} \frac{1}{2} \frac{|\phi(x)|}{D(\phi)}$ 로서, 안정된 $(\u0122{G},G)$-공역 길이가 $\u0122{G}$-불변 준형사상과 연결됨을 보인다.
• 유한 코homology의 7항 정확수열을 사용하여 $Q(G)^{\u0122{G}}$ 와 $H^2(H;\mathbb{R})$ 를 연결하며, 여기서 $H = \u0122{G}/G$ 이다. 이로써 $Q(G)^{\u0122{G}}/Q(\u0122{G})$ 에서 $H^2(H;\mathbb{R})$ 로의 사상 $\tau_{\u0122{G}}$ 가 단사임을 증명한다.
• 이중성과 코homology 도구를 심플렉틱 다양체, 특히 표면에 적용하여 플럭스 호모모르피즘 $\mathrm{Flux}_\omega: \mathrm{Symp}_0(M,\omega) \to H^1(M;\mathbb{R})/\Gamma_\omega$ 를 사용한다.
• 표면의 $H^1(M;\mathbb{R})/\Gamma_\omega$ 가 아메니타블리티를 가지며, $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 가 완전군임을 이용하여 $\u0122{G}$-불변 준형사상의 공간을 제약하고, 확장 불가능성 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정된 $(\u0122{G},G)$-공역 길이는 무엇이며, $\u0122{G}$-불변 준형사상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 $G$ 위의 준형사상이 $\u0122{G}$ 로 확장될 수 있으며, 언제는 불가능한가?
• RQ3 고계수 표면 $\Sigma $ 에서의 심플렉틱형사상군의 플럭스 호모모르피즘은 단면을 가질 수 있는가?
• RQ4 파이의 칼라비 준형사상과 엔토프-폴터비치의 부분 칼라비 준형사상은 전체 심플렉틱형사상군으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 특정 심플렉틱 표면에서 파이의 칼라비 준형사상은 $\u0122{G}$-불변 준형사상 공간 내에서 유일한 비확장 가능한 준형사상인가?

주요 결과

• 논문은 $(\u0122{G},G)$-공역 길이에 대한 바바르 유형의 이중성을 수립한다: $\mathrm{scl}_{\u0122{G},G}(x) = \sup_{\phi \in Q(G)^{\u0122{G}}} \frac{1}{2} \frac{|\phi(x)|}{D(\phi)}$ for $x \in [\u0122{G},G]$.
• 플럭스 호모모르피즘의 단면이 고계수 표면에서 존재하지 않음을 증명한다. 이는 사상 $\tau_{\u0122{G}}$ 의 단사성과 $H^2(H;\mathbb{R})$ 의 구조를 이용하여 이루어진다.
• 파이의 칼라비 준형사상은 $\mathrm{Ham}(\Sigma,\omega)$ 에서 정의되며, $\mathrm{Symp}_0(\Sigma,\omega)$ 로 확장될 수 없으며, 그 클래스 내에서 유일한 비확장 가능한 준형사상임을 보였다.
• 엔토프-폴터비치의 부분 칼라비 준형사상 역시 심플렉틱형사상군으로 확장될 수 없음을 확인하여, 그 내재적인 불변성이 큰 군에 대해 유지됨을 입증하였다.
• 코homological 방법을 통해 $H \cong \mathbb{Z}^N$ 일 때, 공간 $Q(\mathrm{Ham}(M,\omega))^{\u0122{G}}/Q(\u0122{G})$ 의 차원이 $N(N-1)/2$ 이하로 유계임을 보였다.
• 고계수 $g \geq 2$ 의 표면 $\Sigma$ 에 대해, 공간 $Q(\mathrm{Ham}(\Sigma,\omega))^{\hat{G}_0}/Q(\hat{G}_0)$ 의 차원은 최대 1이며, $[\mu_P]$ 가 비자명하므로 정확히 1이다. 이는 비확장 가능한 준형사상의 유일성을 증명한다.