[논문 리뷰] Hausdorff Dimension of Non-Wandering Sets for Average Conformal Hyperbolic Maps

Paul E. Wright|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 06.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 평균 콫형 반발자(average conformal repellers)의 개념을 평균 콕형 하이퍼볼릭 집합으로 확장하여, 일반화된 압력 함수를 사용해 이러한 집합의 하우스도르프 차원에 대한 공식을 수립한다. 주요 기여는 비등각 하이퍼볼릭 시스템에 대해 평균 등각 조건 하에서 등각 반발자에 대한 것과 유사한 차원 공식을 도출한 것이다.

ABSTRACT

The Hausdorff dimension of a conformal repeller or conformal hyperbolic set is well understood. For non-conformal maps, the Hausdorff dimension is only known in some special cases. Ban, Cao and Hu defined the concept of an average conformal repeller which generalises conformal, quasi-conformal and weakly conformal repellers, and they found an equation for the Hausdorff dimension for an average conformal repeller. In this paper we generalise this concept to average conformal hyperbolic sets, and obtain a similar equation for the Hausdorff dimension.

연구 동기 및 목표

• 비등각 동역학에서 하이퍼볼릭 집합으로 평균 등각 반발자의 개념을 일반화하기.
• 평균 등각 하이퍼볼릭 집합의 하우스도르프 차원에 대한 공식을 수립하기.
• 등각 시스템에 대해 알려진 차원 결과를 비등각 하이퍼볼릭 시스템의 더 넓은 범주로 확장하기.
• 변동하는 압축/팽창 비율을 갖는 시스템에서 차원을 계산하는 통합적 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 등각성과 준등각 동역학을 일반화하는 평균 등각 하이퍼볼릭 집합의 개념을 도입하기.
• 리아풀로프 지수와 자코비안 성장률을 사용해 비등각 설정에 적합한 압력 함수 정의하기.
• 열역학적 형식주의를 사용해 압력과 비자발 집합의 차원을 연결하기.
• 균형 상태를 통해 압력과 하우스도르프 차원을 연결하는 변분 원리 수립하기.
• 차원이 일반화된 압력 함수의 영점에 의해 결정됨을 증명하기.
• 반평균 등각 반발자에 대해 바른, 코아, 후의 작업 기법을 하이퍼볼릭 설정으로 적응하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평균 등각성의 개념을 반발자에서 하이퍼볼릭 집합으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 변동하는 등각성을 갖는 비등각 하이퍼볼릭 시스템에서 적절한 압력 함수는 무엇인가?
• RQ3 평균 등각 하이퍼볼릭 집합에 대해 하우스도르프 차원 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 평균 등각 하이퍼볼릭 집합의 차원 공식은 기존의 등각 시스템 결과와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 평균 등각 하이퍼볼릭 집합의 하우스도르프 차원은 일반화된 압력 함수의 영점에 의해 결정된다.
• 이 차원 공식은 비등각 하이퍼볼릭 설정으로 알려진 등각 반발자 결과를 일반화한다.
• 리아풀로프 지수가 변동하나 궤도에 따라 등각성이 평균화되는 시스템에 이 방법이 적용된다.
• 자코비안과 리아풀로프 지수에 대한 약간의 정규성 및 성장 조건 하에서 결과가 성립한다.