[논문 리뷰] Hausdorff dimension of the graphs of the classical Weierstrass functions

Weixiao Shen|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 정수 $b \geq 2$ 이고 $\lambda \in (1/b, 1)$ 인 경우, 고전적 위어슈트라스 함수 $\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \cos(2\pi b^n x)$의 그래프의 하우스도르프 차원이 정확히 $2 + \log \lambda / \log b$임을 입증한다. 이는 리드라프리에르 기준을 기반으로 한 동역학계 접근법을 사용하며, 불변 측도의 국소 차원을 다룬다. 이 결과는 연속적이지만 곳곳에서 미분 가능하지 않은 함수의 이론에서 오랫동안 남아있던 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We show that the graph of the classical Weierstrass function $\sum_{n=0}^\infty λ^n \cos (2πb^n x)$ has Hausdorff dimension $2+\logλ/\log b$, for every integer $b\ge 2$ and every $λ\in (1/b,1)$. Replacing $\cos(2πx)$ by a general non-constant $C^2$ periodic function, we obtain the same result under a further assumption that $λb$ is close to $1$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 위어슈트라스 함수의 그래프 하우스도르프 차원이 $D = 2 + \log\lambda / \log b$와 일치한다는 오랫동안 남아있던 추측을 해결하는 것.
• 余弦 함수의 경우를 초월하여, 작은 조건 $\lambda b - 1$ 하에 일반적인 $C^2$ $\mathbb{Z}$-주기 함수 $\phi$로 이 결과를 확장하는 것.
• 확장형 자기사상에 관련된 불변 측도의 국소 차원을 이용한 에르고딕 이론을 통해 차원 결과를 확립하는 것.
• 동역학계 프레임워크에서 리드라프리에르 기준을 적용할 수 있도록 수정된 교차 조건을 검증하는 것.

제안 방법

• $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ 위에서 정의된 확장형 자기사상 $\Phi(x,y) = (bx \mod 1, (y - \hat{\phi}(x))/\lambda)$ 를 사용하며, 이의 불변 반복집합은 $f_{\lambda,b}^\phi$의 그래프이다.
• 리드라프리에르 정리의 적용을 통해 하우스도르프 차원 문제를, $x \in (0,1)$ 에 대해 르베그 거의 모든 점에서 측도 $m_x$의 국소 차원이 1임을 확인하는 것으로 환원한다.
• $\gamma = 1/(\lambda b)$, $\psi = \phi'$ 이고, $S(x,\mathbf{u}) = \sum_{n=1}^{\infty} \gamma^{n-1} \psi\left(\frac{x}{b^n} + \sum_{i=1}^n \frac{u_i}{b^i}\right)$ 를 정의하여, 강한 불안정 다변량의 기울기를 나타낸다.
• 측도 $m_x$ 를 $\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^+}$ 위의 베르누이 측도 $\mathbb{P}$ 를 $\mathbf{u} \mapsto S(x,\mathbf{u})$ 로 옮긴 결과로 정의한다.
• 수정된 교차 조건과 이진 큐브 내에서 측도의 감쇠를 추정하여 $m_x$ 의 국소 차원을 제어한다.
• 비르코프의 에르고딕 정리와 에고로프 정리를 활용하여 일반적인 궤도를 분석하고, 그래프 측도의 국소 차원에 대한 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 $b \geq 2$ 이고 $\lambda \in (1/b, 1)$ 인 경우, 위어슈트라스 함수 그래프 $W_{\lambda,b}$ 의 하우스도르프 차원이 $D = 2 + \log \lambda / \log b$ 와 일치하는가?
• RQ2 余弦 함수의 경우를 초월하여 일반적인 $C^2$ $\mathbb{Z}$-주기 함수 $\phi$ 에 대해서도 이 차원 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ3 $\lambda$ 와 $b$ 에 어떤 조건이 성립하면 측도 $m_x$ 의 국소 차원이 거의 확실히 1이 되는가?
• RQ4 츠지우의 프레임워크에서의 교차 조건을 어떻게 수정하여 $\lambda \in (1/b, 1)$ 의 전체 범위에서 차원 결과를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 정수 $b \geq 2$ 이고 $\lambda \in (1/b, 1)$ 인 모든 경우에 대해, $W_{\lambda,b}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \cos(2\pi b^n x)$ 의 그래프 하우스도르프 차원은 정확히 $2 + \log \lambda / \log b$ 이다.
• 임의의 비상수 $C^2$ $\mathbb{Z}$-주기 함수 $\phi$ 에 대해, $K_0 = K_0(\phi,b) > 1$ 이 존재하여 $1 < \lambda b < K_0$ 이면, $f_{\lambda,b}^\phi$ 의 그래프 하우스도르프 차원은 $D = 2 + \log \lambda / \log b$ 이다.
• 이 증명은 거의 모든 $x \in (0,1)$ 에서 측도 $m_x$ 의 국소 차원이 1임을 입증하며, 리드라프리에르 정리에 의해 그래프의 차원이 $D$ 라는 것을 의미한다.
• 이 방법은 오랫동안 미해결이었던 고전적 위어슈트라스 함수에 대한 추측을 확인한다. 이는 상자 차원과 패킹 차원이 모두 $D$ 와 일치한다는 것은 알려져 있었지만, 하우스도르프 차원은 증명되지 않았다.
• 수정된 교차 조건을 검증하고, 에르고딕 이론을 활용하여 이진 큐브 내에서 측도의 감쇠를 제어함으로써 결과를 도출하였다.