[논문 리뷰] Hausdorff dimension of univoque sets and Devil's staircase

Vilmos Komornik, Derong Kong외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 기저 $ \{0,1,\ldots,M\} $ 에서의 유일한 $ q $-전개를 가진 실수의 집합 $ \mathcal{U}_q $ 의 하우스도르프 차원 $ D(q) $ 를 완전한 공식으로 설정한다. 모든 $ q > 1 $ 에 대해 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $ 를 증명하며, 여기서 $ h(\mathcal{U}_q') $ 는 해당 전개 집합의 위상 엔트로피이다. 차원 함수 $ D(q) $ 는 연속적이며 유계 변동성을 가지며, $ (q',\infty) $ 에서 데블의 계단 행동을 보인다. 이는 $ D(q) > D(q') $ 이지만 거의 어디서나 $ D'(q) < 0 $ 이기 때문이다. 여기서 $ q' $ 은 코모르니크–로레티 상수이다.

ABSTRACT

We fix a positive integer $M$, and we consider expansions in arbitrary real bases $q&gt;1$ over the alphabet $\{0,1,...,M\}$. We denote by $U_q$ the set of real numbers having a unique expansion. Completing many former investigations, we give a formula for the Hausdorff dimension $D(q)$ of $U_q$ for each $q\in (1,\infty)$. Furthermore, we prove that the dimension function $D:(1,\infty) o[0,1]$ is continuous, and has a bounded variation. Moreover, it has a Devil's staircase behavior in $(q',\infty)$, where $q'$ denotes the Komornik--Loreti constant: although $D(q)&gt;D(q')$ for all $q&gt;q'$, we have $D'&lt;0$ a.e. in $(q',\infty)$. During the proofs we improve and generalize a theorem of Erdős et al. on the existence of large blocks of zeros in $β$-expansions, and we determine for all $M$ the Lebesgue measure and the Hausdorff dimension of the set of bases in which $x=1$ has a unique expansion.

연구 동기 및 목표

• 모든 $ q > 1 $ 에 대해 비정수 기수 전개에서의 유일기수 집합에 대한 정확한 하우스도르프 차원 $ D(q) = \dim_H \mathcal{U}_q $ 을 결정함으로써, 이전의 비정수 기수 전개에서의 유일기수 집합 연구를 완성함.
• 차원 함수 $ D(q) $ 가 연속적이고 유계 변동성을 가지며, 그 정(regularity)에 관한 열린 질문들을 해결함.
• $ q' $ 이 코모르니크–로레티 상수일 때 $ (q',\infty) $ 에서 $ D(q) $ 가 데블의 계단 행동을 보임을 확립함. 이는 거의 어디서나 도함수가 음수임에도 불구하고 $ D(q) > D(q') $ 이기 때문이다.
• 에르되시 등이 $ \beta $-전개에서의 0 블록에 대해 얻은 결과를 임의의 $ M \geq 1 $ 으로 일반화하고 개선함.
• 유일기수 기수의 집합 $ \mathcal{U} $ 의 르베그 측도와 하우스도르프 차원을 계산함으로써, 둘 다 각각 0과 1임을 보임.

제안 방법

• 모든 $ q > 1 $ 에 대해 $ \mathcal{U}_q $ 의 하우스도르프 차원에 대한 일반 공식 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $ 을 유도함. 이 공식은 $ \mathcal{U}_q' $ 이 부분시프트가 아닐 때에도 성립함.
• 위상 엔트로피 $ h(\mathcal{U}_q') = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log |B_n(\mathcal{U}_q')| $ 를 핵심 도구로 사용하여 $ D(q) $ 를 표현함.
• 적절히 선택된 수열 $ (n_k) $ 를 사용하여 보다 정교한 보렐–칸텔리 보조정리의 변형을 적용함. 이 수열은 $ n_k > \log_s(n_1 + \cdots + n_k) $ 과 $ \sum s^{-n_k} = \infty $ 를 만족함. 이를 통해 $ \beta(q) $ 에서의 0 블록 빈도를 분석함.
• 유일기수 기수의 사전순 특성, 즉 $ x=1 $ 의 그레디 전개인 $ \beta(q) $ 를 활용하여 $ \mathcal{U} $ 와 $ \beta(q) $ 의 구조 간의 관계를 규명함.
• 구간 분할과 $ \beta(q) $-전개 블록에 대한 측도 추정을 통해 $ \beta(q) $-전개 블록에 대한 조건을 이용하여 $ D(q) $ 의 연속성과 유계 변동성을 증명함.
• $ p > q' $ 인 경우 $ D(q) = h(\mathcal{U}_p') / \log q $ 가 $ q $ 에 대해 엄격히 감소함을 보임으로써, $ (q',\infty) $ 에서 거의 어디서나 $ D'(q) < 0 $ 이 됨을 확립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ q > 1 $ 에 대해 유일한 $ q $-전개를 가진 수의 집합 $ \mathcal{U}_q $ 의 정확한 하우스도르프 차원 공식 $ D(q) $ 는 무엇인가요?
• RQ2 차원 함수 $ D(q) $ 는 $ (1,\infty) $ 에서 연속적이고 유계 변동성을 가지는가요?
• RQ3 $ q' $ 이 코모르니크–로레티 상수일 때 $ D(q) $ 는 $ (q',\infty) $ 에서 데블의 계단 행동을 보이나요? 이는 $ D(q) > D(q') $ 이지만 거의 어디서나 $ D'(q) < 0 $ 이기 때문입니다.
• RQ4 에르되시 등이 $ \beta $-전개에서의 0 블록에 대해 얻은 결과는 임의의 $ M \geq 1 $ 으로 일반화될 수 있나요?
• RQ5 유일기수 기수의 집합 $ \mathcal{U} $ 의 르베그 측도와 하우스도르프 차원은 각각 얼마인가요?

주요 결과

• 모든 $ q > 1 $ 에 대해 공식 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $ 가 성립하며, 이는 $ \mathcal{U}_q' $ 이 부분시프트가 아닐 때에도 성립함. 이는 핵심 열린 질문을 해결함.
• 차원 함수 $ D(q) $ 는 $ (1,\infty) $ 에서 연속적이며, 유계 변동성을 가지며, 거의 어디서나 미분 가능함을 의미함.
• $ (q',\infty) $ 에서 $ D(q) $ 는 데블의 계단 행동을 보임: 모든 $ q > q' $ 에 대해 $ D(q) > D(q') $ 이지만, 거의 어디서나 $ D'(q) < 0 $ 이다.
• 유일기수 기수의 집합 $ \mathcal{U} $ 는 르베그 측도가 0이며, 하우스도르프 차원은 1이다. 이는 이전의 $ M=1 $ 에 대한 결과를 일반화한 것이다.
• 논문은 에르되시 등이 $ \beta $-전개에서의 0 블록에 대해 얻은 결과를 일반화하고 강화함. 거의 모든 $ q \in (1,r) $ 에 대해 $ \beta(q) $ 는 임의로 큰 $ m $ 에 대해 길이가 $ \log_r m $ 를 초과하는 0 블록을 포함함을 증명함.
• $ D(q) = h(\mathcal{U}_p') / \log q $ 가 $ p > q' $ 인 경우 $ q $ 에 대해 엄격히 감소하므로, $ (q',\infty) \setminus \overline{\mathcal{U}} $ 의 각 연결성 부분 $ (q_0, q_0^*) $ 에서 $ D'(q) < 0 $ 이다.