[논문 리뷰] Hawkes Graphs

Paul Embrechts, Matthias Kirchner|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 08.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 그래프 이론적 개념을 활용하여 다변량 하크스 과정의 분기 구조를 압축적으로 표현하기 위해 하크스 스켈레톤과 하크스 그래프를 도입한다. 복잡도와 희소성에 대한 제어를 가능하게 하는 두 개의 튜닝 파라미터를 갖는 비모수적 추정 방법을 제안하여, 제한적인 모수적 가정 없이 고차원 이벤트 스트림의 효율적 모델링과 피팅을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper introduces the Hawkes skeleton and the Hawkes graph. These objects summarize the branching structure of a multivariate Hawkes point process in a compact, yet meaningful way. We demonstrate how graph-theoretic vocabulary (`ancestor sets', `parent sets', `connectivity', `walks', `walk weights', ...) is very convenient for the discussion of multivariate Hawkes processes. For example, we reformulate the classic eigenvalue-based subcriticality criterion of multitype branching processes in graph terms. Next to these more terminological contributions, we show how the graph view may be used for the specification and estimation of Hawkes models from large, multitype event streams. Based on earlier work, we give a nonparametric statistical procedure to estimate the Hawkes skeleton and the Hawkes graph from data. We show how the graph estimation may then be used for specifying and fitting parametric Hawkes models. Our estimation method avoids the a priori assumptions on the model from a straighforward MLE-approach and is numerically more flexible than the latter. Our method has two tuning parameters: one controlling numerical complexity, the other one controlling the sparseness of the estimated graph. A simulation study confirms that the presented procedure works as desired. We pay special attention to computational issues in the implementation. This makes our results applicable to high-dimensional event-stream data, such as dozens of event streams and thousands of events per component.

연구 동기 및 목표

• 다변량 하크스 프로세스의 분기 구조를 분석하기 위한 그래프 이론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 조상 집합과 연결성과 같은 그래프 용어를 사용하여 고전적인 부분하중 조건을 재구성하는 것.
• 대규모의 다형태 이벤트 스트림으로부터 하크스 스켈레톤과 그래프를 추정하기 위한 비모수적 추정 절차를 개발하는 것.
• 추정된 그래프 구조를 활용하여 파rametric 하크스 모델의 유연한 특정화와 피팅을 가능하게 하는 것.
• 고차원 데이터, 예를 들어 수십 개의 이벤트 스트림과 각각 수천 건의 이벤트를 포함하는 경우에도 계산적 확장성을 확보하는 것.

제안 방법

• 다변량 하크스 프로세스에서 이벤트 유형 간 직접적인 인과적 영향을 나타내는 방향 그래프로 하크스 스켈레톤을 정의하는 것.
• 보조 효과까지 포함한 전체 영향 구조를 캡처하는 가중치가 부여된 그래프로 하크스 그래프를 도입하는 것.
• 강한 모수적 가정 없이 데이터로부터 하크스 스켈레톤과 그래프를 추정하기 위한 비모수적 통계 절차를 사용하는 것.
• 수치적 복잡도 제어(예: 커널 추정에서의 밴드폭)를 위한 하나의 튜닝 파라미터와 희소성 제어(예: 영향 추정치에 대한 임계값 설정)를 위한 다른 하나의 튜닝 파라미터를 통합하는 것.
• 영향 행렬의 연결성과 스펙트럼 성질을 사용하여 고유값 기반의 부분하중 조건을 그래프 용어로 재구성하는 것.
• 추정된 그래프를 활용하여 파arametric 하크스 모델의 특정화와 피팅을 유도함으로써 수치적 안정성과 해석 가능성 향상을 도모하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조상, 부모, 산책과 같은 그래프 이론적 개념을 사용하여 다변량 하크스 프로세스의 분기 구조를 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 고전적인 고유값 기반 부분하중 조건은 연결성과 산책 가중치의 관점에서 재구성될 수 있는가?
• RQ3 대규모 고차원 이벤트 스트림으로부터 하크스 스켈레톤과 그래프를 어떻게 비모수적으로 추정할 수 있는가?
• RQ4 튜닝 파라미터의 영향은 추정된 그래프의 희소성과 수치적 복잡도에 어떻게 작용하는가?
• RQ5 추정된 그래프 구조는 표준 최대우도 추정 방법에 비해 파arametric 하크스 모델의 특정화와 피팅에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 부분하중 조건의 그래프 이론적 재구성은 다변량 하크스 프로세스 분석을 위한 더 직관적이고 해석 가능한 프레임워크를 제공한다.
• 제안된 비모수적 추정 방법은 시뮬레이션 연구에서 하크스 프로세스의 기저 분기 구조를 성공적으로 복원한다.
• 표준 최대우도 추정에서 내재된 제한적인 모수적 가정을 피함으로써 모델의 유연성을 향상시킨다.
• 두 개의 튜닝 파라미터 설계 덕분에 추정된 그래프의 계산적 복잡도와 희소성에 효과적인 제어가 가능하다.
• 이 방법은 수치적 안정성과 확장성을 입증하여, 수십 개의 이벤트 스트림과 각각 수천 건의 이벤트를 포함하는 고차원 데이터에 적합하다.
• 추정된 그래프 구조는 파arametric 하크스 모델의 특정화와 피팅을 효과적으로 유도할 수 있으며, 추정 성능을 향상시킨다.