[논문 리뷰] Heat Conduction in Low Dimensions: From Fermi-Pasta-Ulam Chains to Single-Walled Nanotubes

Peter Grassberger, Lei Yang|arXiv (Cornell University)|2002. 04. 11.

Graphene research and applications참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 연구는 페르미-파스타-울람(FPU) $\beta$ 모델을 사용하여 저차원 비조화 격자에서의 열전도를 조사한다. 주기적인 횡방향 경계 조건을 갖는 직육면체 시스템을 시뮬레이션하여 단일벽 탄소 나노튜브를 모델링한다. 열전도도 $\kappa$가 1차원 및 2차원 모두에서 $L^{\alpha}$의 거듭제곱 법칙으로 발산하는 것으로 나타났지만, 2차원의 발산은 로그적 발산이 아니라 거듭제곱 형태($\alpha \approx 0.22 \pm 0.03$)이며, 1차원에서 2차원으로의 전이가 시스템 크기에 따라 발산하는 비율 $r^* \sim L^{0.65}$에서 발생한다. 이는 긴 나노튜브조차도 완전히 1차원 행동을 보이지 않을 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Heat conduction in 1-dimensional anharmonic systems is anomalous in the sense that the conductivity κscales with a positive power of the system size, κ~ L^α. In two dimensions, previous simulations and theoretical arguments gave a logarithmic divergence. For rectangular systems of size L_\| x L_\perp there should be a cross-over from the 2-d to the 1-d behaviour as the aspect ratio r = L_\| / L_\perp increases from r=1 to r >> 1. When taking periodic boundary conditions in the transverse direction, this should be of direct relevance for the heat conduction in single-walled carbon nanotubes. In particular, one expects that k nanotubes of diameter R should conduct heat better than a single nanotube of the same length and of radius kR. We study this cross-over numerically by simulating the Fermi-Pasta-Ulam model. Apart from giving a precise estimate of the exponent α, our most intriguing results are that the divergence does not seem to be logarithmic in d=2 but also power-like, and that the cross-over does not happen at a fixed aspect ratio. Instead, it happens at r=r^* with r^* -> \infty for L -> \infty.

연구 동기 및 목표

• 주기적인 횡방향 경계 조건을 갖는 2차원 비조화 격자에서 열전도도 $\kappa$의 크기 의존성을 조사하기 위해.
• 2차원 시스템에서 열전도도가 로그적으로 발산하는지 아니면 거듭제곱 법칙으로 발산하는지 판단하기 위해.
• 비율 $r = L_\parallel / L_\perp$에 따라 직육면체 시스템에서 1차원에서 2차원 열전도 행동으로의 전이를 연구하기 위해.
• 이러한 결과가 단일벽 탄소 나노튜브에서의 열전도에 어떤 영향을 미치는지 평가하기 위해.
• 더 넓은 단일 나노튜브와 동일한 총 횡단면적을 갖는 더 좁은 나노튜브가 더 효율적으로 열을 전도하는지 평가하기 위해.

제안 방법

• 횡방향($j$-방향)에서 주기적 경계 조건을 갖는 정사각형 격자에서 FPU-$\beta$ 모델의 수치 시뮬레이션을 수행하였다.
• 온도 기울기를 유지하기 위해 양단($i=1$ 및 $i=N_x$)에 Nosé-Hoover 열 baths를 사용하였으며, $T_h=10$, $T_c=6$, 반응 시간 $\Theta=1$로 설정하였다.
• 통계적 변동에 비해 통합 오차를 최소화하기 위해 $dt=0.05$의 레프프로그 인테그레이터를 적용하였다.
• 열전도도는 $\kappa = J / \nabla T$로 정의되었으며, $J$는 에너지 흐름으로부터, $\nabla T$는 경계 온도 차이로부터 계산되었다.
• 점진적 행동과 전이 역학을 추출하기 위해 $\kappa = N_x^{\alpha'} \phi(N_y / N_x^\beta)$의 가설을 사용한 척도 분석을 수행하였다.
• 유한 체적 및 통합 오차를 평가하기 위해 전반적 및 중심 열전도도 추정치($\kappa_{\rm global}$, $\kappa_{\rm center}$)를 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 FPU 격자에서 열전도도는 시스템 크기에 따라 로그적으로 발산하는가 아니면 거듭제곱 법칙으로 발산하는가?
• RQ2 1차원에서 2차원 열전도 행동으로의 전이가 발생하는 비율 $r = L_\parallel / L_\perp$는 얼마인가?
• RQ3 시스템 크기가 증가함에 따라 전이 비율 $r^*$는 유한하게 유지되는가 아니면 발산하는가?
• RQ4 동일한 총 횡단면적을 갖는 더 좁은 나노튜브의 열전도도가 더 넓은 단일 나노튜브보다 높은가?
• RQ5 2차원 시스템에서 열전도도 지수 $\alpha$의 점점 수렴하는 값은 얼마인가?

주요 결과

• 2차원 FPU 격자에서 열전도도는 시스템 크기에 따라 거듭제곱 법칙으로 스케일링되며, 지수 $\alpha(2\text{d}) = 0.22 \pm 0.03$로 나타나, 이전에 예측한 로그 발산과는 정반대이다.
• 1차원에서 2차원 행동으로의 전이가 비율 $r^* \sim N_x^{0.65}$에서 발생하며, 이는 시스템 크기에 따라 발산한다. 이는 유한한 시스템에서는 1차원 스케일링이 완전히 도달하지 못할 수 있음을 시사한다.
• 1차원 체인의 열전도도 지수는 $\alpha(1\text{d}) = 0.37 \pm 0.01$로 추정되었으며, 이는 이전 연구와 일치하지만 이전 추정치보다 略적으로 낮다.
• 반지름 $R$인 두 개의 좁은 나노튜브의 열전도도는 동일한 길이의 반지름 $2R$인 단일 넓은 나노튜브보다 높으며, 이는 횡방향 진동 모드의 감소로 인해 猶로한 진동 모드의 전도가 제한되기 때문이다.
• 고정된 비율에서 열전도도는 $N_x$ 증가에 따라 처음에는 감소하다가 이후에 증가하는 비단조적 행동을 보이며, 점 渐진적 스케일링에 도달하기 전 잠시 동안의 일시적 영역이 있음을 나타낸다.
• 큰 $N_x$에서도 간단한 거듭제곱 법칙과의 탈리가 관찰되며, 이는 점 渐진적 지수 값이 유한 체적 데이터에 대한 표준 최소 제곱 회귀 분석으로부터 얻은 값보다 더 작다는 것을 시사한다.