[논문 리뷰] Heat flow on the moduli space of flat connections and Yang-Mills theory

Rémi Janner|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평면 접속의 모듈리 공간 위의 유계 모어스 homology와 부분적으로 재스케일된 계량을 갖는 3차원 다양체 위의 양밀스 접속의 유계 모어스 homology 사이의 이somorphism을 수립한다. 루프 공간 위의 열화 흐름과 양밀스 $L^2$-흐름을 사용하여, $\varepsilon \to 0$일 때, 변형된 지오데식선이 변형된 양밀스 접속에 대응됨을 증명하며, 이는 유한 차원이 아닌 심플렉틱 기하학과 양밀스 이론을 애디아바틱 극한을 통해 연결한다.

ABSTRACT

It is known that there is a bijection between the perturbed closed geodesics, below a given energy level, on the moduli space of flat connections M and families of perturbed Yang-Mills connections depending on a small parameter. In this paper we study the heat flow on the loop space on M and the Yang-Mills L^2-flows for a 3-manifold N with partial rescaled metrics. Our main result is that the bounded Morse homology of the loop space on M is isomorphic to the bounded Morse homologies of the connections space of N.

연구 동기 및 목표

• 재스케일된 계량을 갖는 3차원 다각형에서 평면 접속의 모듈리 공간 위의 변형된 지오데식선과 변형된 양밀스 접속 사이의 대응관계를 수립하기.
• 양밀스 흐름과 루프 공간 위의 열화 흐름의 맥락에서 $\varepsilon \to 0$일 때의 애디아바틱 극한을 분석하기.
• 루프 공간 위의 모듈리 공간과 양밀스 접속 공간의 유계 모어스 호몰로지 사이의 이omy를 증명하기.
• 부분적 재스케일링 하에서 양밀스 흐름에 대한 균일한 추정과 게이지 고정 기법을 개발하기.
• 아티야-보트 프레임워크를 변형된 함수형으로 확장하고, 비선형 PDE를 통해 임계점을 분석하기.

제안 방법

• 표면 $\Sigma$ 위의 $\mathrm{SO}(3)$-접속에 대한 평면 접속의 모듈리 공간 $\mathcal{M}^{g}(P)$ 의 루프 공간 위의 열화 흐름을 사용한다.
• $\varepsilon \to 0$일 때 계량 $\varepsilon^2 g_\Sigma \oplus g_{S^1}$ 를 갖는 $N = \Sigma \times S^1$ 위의 양밀스 $L^2$-흐름을 분석한다.
• 비판점들을 양쪽 공간 간에 연결하기 위해 변형된 에너지 함수형 $E^H$ 와 $\mathcal{YM}^{\varepsilon,H}$ 를 적용한다.
• 게이지 군의 비유계성을 제어하고 수렴성을 보장하기 위해 상대 쿨롱 게이지 고정을 활용한다.
• 표면 $\Sigma$ 위에서 $L^p$-노름과 소볼레프 유형 부등식을 사용하여 양밀스 흐름 연산자에 대한 선형 및 이차 추정을 유도한다.
• 흐름 사이의 사상 $\mathcal{R}^{\varepsilon,b}$ 를 구성하고, 그 전사성과 지수 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재스케일된 계량을 갖는 3차원 다각형에서 평면 접속의 모듈리 공간 위의 변형된 지오데식선은 어떻게 변형된 양밀스 접속과 관련이 있는가?
• RQ2 애디아바틱 극한에서 $\varepsilon \to 0$일 때, 양밀스 $L^2$-흐름의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 유계 모어스 호몰로지가 $\mathcal{M}^{g}(P)$ 위의 루프 공간과 $\Sigma \times S^1$ 위의 양밀스 접속 공간을 비교하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 비선형 흐름 방정식을 제어하기 위해 필요한 균일한 추정과 게이지 고정 기법은 무엇인가?
• RQ5 두 공간의 유계 모어스 호몰로지 사이에 표준적인 이omy가 존재하는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\mathcal{M}^{g}(P)$ 위의 루프 공간의 유계 모어스 호몰로지는 $\Sigma \times S^1$ 위의 양밀스 접속 공간의 유계 모어스 호몰로지와 이omy가 된다.
• $\varepsilon \to 0$일 때, $\mathcal{M}^{g}(P)$ 위의 변형된 지오데식선은 $\Sigma \times S^1$ 위의 변형된 양밀스 접속과 이대일관하게 대응된다.
• 상대 쿨롱 게이지 하에서 양밀스 흐름의 지수 수렴성이 확립되어 임계점의 안정성을 보장한다.
• 상수 $\varepsilon$ 에 대해 독립적인 균일한 $L^p$-추정이 유도되었으며, 양밀스 흐름 연산자에 대해 적용된다.
• 흐름 사이의 사상 $\mathcal{R}^{\varepsilon,b}$ 는 전사임이 증명되었으며, 이는 이omy의 구축을 가능하게 한다.
• 증명은 표면 $\Sigma$ 위에서의 $L^p$-소볼레프 부등식과 타원형 추정을 사용하며, $\varepsilon$ 에 대해 균일하게 유지된다.