[논문 리뷰] Heat kernel estimates and the relative compactness of perturbations by potentials

Jochen Brüning, Batu Güneysu|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 02.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제어 함수를 사용한 열핵 추정을 통해, 잠재력에 의해 페르터브된 슈뢰딩거 유형 연산자에 대한 상대적 컴팩턴스의 추상적 조건을 수립한다. 만약 열핵 대각선이 $ p(t,x,x) \leq F_1(x)F_2(t) $ 를 만족하면, 잠재력에 의한 페르터브는 상대적으로 컴팩트하다. 이는 리만 다양체와 가중 그래프에 대해 일반적으로 적용되며, 체적과 비틀림 반경과 같은 기하학적 불변량을 통해 날카로운 컴팩턴스 기준을 도출한다.

ABSTRACT

We consider a self-adjoint non-negative operator $H$ in a Hilbert space $\mathsf{L}^2(X,{ m d}μ)$. We assume that the semigroup $(\mathrm{e}^{-t H})_{t>0}$ is defined by an integral kernel, $p$, which allows an estimate of the form $p(t,x,x)\le F_1(x)F_2(t)$ for all $(x,t)\in X imes\mathbb{R_+}$; we refer to $F_1$ as the \emph{control function}. We show that such an estimate leads to rather satisfying abstract results on relative compactness of perturbations of $H$ by potentials. It came as a surprise to us, however, that such an estimate holds for the Laplace-Beltrami operator on \emph{any} Riemannian manifold. In particular, using a domination principle, one can deduce from the latter fact a very general result on the relative compactness of perturbations by potentials of the Bochner Laplacian associated with a Hermitian bundle $(E, h^E, abla^E)$ over an arbitrary Riemannian manifold $(M,g)$; in fact, only quantities of order zero in $g$ enter in the estimates. We extend this result to weighted Riemannian manifolds, where under lower curvature bounds on the $α$-Bakry-Émery tensor one can construct quite explicit control functions, and to any weighted graph, where the control function is expressed in terms of the vertex weight function.

연구 동기 및 목표

• 임의의 측도 공간에서 슈뢰딩거 유형 연산자에 대한 잠재력에 의한 페르터브에 대한 일반적인 상대적 컴팩턴스 기준을 개발하는 것.
• 임의의 리만 다양체에서 라플라스-벨트라미 연산자에 대해 제어 함수 $ F_1(x)F_2(t) $ 를 사용한 열핵 추정을 수립하는 것.
• 이러한 결과를 리만 다양체 위의 허미션 벡터 번들의 코바리언트 슈뢰딩거 연산자와 가중 그래프로 확장하는 것.
• 제어 함수와 도미네이션 원리를 사용하여, $ W_1 \in L^2 $ 이고 $ W_2 $ 가 무한대에서 감쇠하는 조건을 만족할 경우, $ V(H+1)^{-1} $ 의 컴팩턴스가 적분 조건에 의해 유도됨을 보이는 것.

제안 방법

• 편평한 $ L^2 $-평균값 부등식을 사용하여, 임의의 리만 다양체에서 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $ 의 보편적 열핵 추정을 유도하는 것.
• 완전한 다양체에서 $ \mathrm{Ric} \geq 0 $ 를 만족할 경우, 리-요 추정을 사용하여 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}(B(x,1))^{-1}(t^{-m/2} + 1) $ 를 증명하는 것.
• 제어 함수 $ F_1(x)F_2(t) $ 를 도입하여 상대적 컴팩턴스를 $ F_1 $ 과 $ F_2 $ 에 대한 $ V $ 의 적분 가능성으로 환원함으로써, 측도 공간에서의 추상적 분석이 가능하도록 하는 것.
• 스칼라에서 코바리언트 슈뢰딩거 연산자로의 결과 확장을 위해 도미네이션 원리를 적용하는 것.
• 곡률 가정 없이도 성립하는 가중 그래프에서의 이산 열핵 추정 $ p_{b,\varrho}(t,x,y) \leq 1/\varrho(y) $ 를 수립하는 것.
• 코로나리 2.17을 사용하여, 모든 $ c>0 $ 에 대해 $ \sum_x |W_1(x)|^2 \varrho(x) + \sum_{|W_2|>c} (1+\varrho(x)) < \infty $ 를 만족할 경우, $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} \in \mathscr{L}^\infty $ 를 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열핵 대각선 $ p(t,x,x) $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, 자기수반 비음성 연산자 $ H $ 에 대해 잠재력 $ V $ 는 상대적으로 컴팩트한가?
• RQ2 열핵 추정에서 제어 함수 $ F_1(x)F_2(t) $ 를 사용하여 잠재력 페르터브의 상대적 컴팩턴스를 특징지을 수 있는가?
• RQ3 모든 리만 다양체에서 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $ 이 성립하는가? (곡률 또는 완전성 조건과 무관하게?)
• RQ4 잠재력에 의한 페르터브의 상대적 컴팩턴스는 리만 다양체 위의 허미션 벡터 번들의 코바리언트 슈뢰딩거 연산자로 확장될 수 있는가?
• RQ5 가중 그래프에서 $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} $ 가 유계임을 보장하는 잠재력 $ W $ 의 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 리만 다양체에서 열핵 대각선은 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $ 를 만족하며, 여기서 $ C $ 는 오직 차원 $ m $ 에만 의존한다.
• 완전한 다양체에서 $ \mathrm{Ric} \geq 0 $ 를 만족할 경우, 추정 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}(B(x,1))^{-1}(t^{-m/2} + 1) $ 이 성립하며, 여기서 $ C $ 는 오직 $ m $ 에만 의존한다.
• 비음성 $ \alpha $-바크리-에메리 텐서를 가진 가중 리만 다양체에서, 추정은 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}_\alpha(B(x,1))^{-1}(t^{-(m/2+\alpha/2)} + 1) $ 로 변형된다.
• 모든 가중 그래프에서 열핵은 모든 $ t \geq 0 $ 과 $ x,y \in X $ 에 대해 $ p_{b,\varrho}(t,x,y) \leq 1/\varrho(y) $ 를 만족한다.
• $ W = W_1 + W_2 $ 이고 $ W_1 \in L^2 $ 이며, 모든 $ c>0 $ 에 대해 $ \sum_{|W_2|>c} (1+\varrho(x)) < \infty $ 를 만족할 경우, 연산자 $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} $ 는 $ \Gamma_{\mathsf{L}^2}(X,E;{\rm d}\mu_\varrho) $ 에서 유계이다.
• $ V(H+1)^{-1} $ 의 상대적 컴팩턴스는 제어 함수 추정 $ p(t,x,x) \leq F_1(x)F_2(t) $ 에 의해 유도되며, 이는 곡률 또는 체적 성장 가정 없이도 임의의 다양체로 알려진 결과를 일반화한다.