[논문 리뷰] Heat kernel estimates and their stabilities for symmetric jump processes with general mixed polynomial growths on metric measure spaces

Joohak Bae, Jae-Hoon Kang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 23.

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한 줄 요약

이 논문은 점프 커널에 일반적인 혼합 다항성장이 있는 메트릭 측도 공간 위의 대칭 순수 점프 마코프 과정에 대해, 1보다 큰 하한 스케일링 지수 조건 하에서 열핵 추정과 그 안정성을 수립한다. 이는 이전 결과를 일반화하며, 속도 함수에 독립적인 척도 함수를 도입하고, 유한한 모멘트 조건과 무한대에서의 일반화된 히힌친 유형 반복 로그 법칙 사이의 동치성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a symmetric pure jump Markov process $X$ on a metric measure space with volume doubling conditions. Our focus is on estimating the transition density $p(t,x,y)$ of $X$ and studying its stability when the jumping kernel exhibits general mixed polynomial growth. Unlike previous work, in our setting, the rate function governing the jump growth may not be comparable to the scale function that determines whether $p(t,x,y)$ has near-diagonal or off-diagonal estimates. Under the assumption that lower scaling index of scale function is greater than $1$, we establish stabilities of heat kernel estimates. Additionally, if the metric measure space admits a conservative diffusion process with a transition density satisfying sub-Gaussian bounds, we generalize heat kernel estimates from [3, Theorems 1.2 and 1.4] using the rate function and the function $F$ related to walk dimension of underlying space. As an application, we prove the equivalence between a finite moment condition based on $F$ and a generalized Khintchine-type law of iterated logarithm at infinity for symmetric Markov processes.

연구 동기 및 목표

• 메트릭 측도 공간 위의 대칭 순수 점프 마코프 과정에 대해 점프 커널에 일반적인 혼합 다항성장을 가진 열핵 추정을 유도하는 것.
• 점프 커널의 변형 하에서 이러한 열핵 추정의 안정성을 수립하는 것.
• 이전의 열핵 추정 결과를 [3, 정리 1.2 및 1.4]에서 일반화하기 위해 척도 함수와 보행 차원과 관련된 함수 F 를 도입하는 것.
• 기본 함수 F 를 기반으로 한 유한 모멘트 조건과 무한대에서의 일반화된 히힌친 유형 반복 로그 법칙 사이의 동치성을 증명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 Φ(d(x,y)) = t 가 근접 대각선과 비대각선 열핵 추정 사이의 임계값을 결정하는 척도 함수 Φ 를 정의한다.
• 기본 공간의 보행 차원과 관련된 함수 F 를 도입하고, 이를 통해 열핵 추정을 일반화한다.
• 분석은 척도 함수에 대한 체적 제곱 조건과 하한 스케일링 지수 > 1 을 기반으로 한다.
• UHKD(Φ), Jψ,≤, 및 EΦ 조건 하에서 T(ϕ) 클래스의 성질을 이용하여 열핵 추정의 안정성을 확립한다.
• 보조 함수의 구성과 Φ, ϕ, 및 함수 K(ρ) = Φ(ρ)/ρ 의 역함수를 포함하는 부등식을 사용하는 증명 기법을 적용한다.
• 비교 원리와 하한 스케일링 조건을 활용하여 척도 함수와 그 역함수의 성장률을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭 측도 공간 위의 대칭 점프 과정에 대해 점프 커널에 일반적인 혼합 다항성장이 있을 때 열핵 추정을 수립할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 속도 함수와 척도 함수가 비교 가능하지 않을 경우 열핵 추정의 안정성은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 보행 차원과 관련된 함수 F 는 열핵 추정을 일반화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 유한 모멘트 조건은 무한대에서의 일반화된 히힌친 유형 반복 로그 법칙과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 일반적인 스케일링 가정 하에서 유한 모멘트 조건과 반복 로그 법칙 사이의 동치성은 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 일반적인 혼합 다항성장 하에서 p(t,x,y) ≍ (1/V(x,ϕ⁻¹(t)) ∧ t/(V(x,d(x,y))ϕ(d(x,y)))) 의 형태로 열핵 추정을 수립한다.
• 척도 함수의 하한 스케일링 지수가 1보다 클 경우 열핵 추정의 안정성이 입증된다.
• 저자들은 [3, 정리 1.2 및 1.4]의 열핵 추정 결과를 보행 차원과 관련된 함수 F 를 도입하여 일반화한다.
• 기본 함수 F 를 기반으로 한 유한 모멘트 조건과 무한대에서의 일반화된 히힌친 유형 반복 로그 법칙 사이의 동치성이 입증된다.
• 함수 K(ρ) = Φ(ρ)/ρ 의 구성과 하한 및 상한 스케일링 조건의 사용을 통해 역함수 K⁻¹ 의 제어가 이루어진다.
• 결과는 체적 제곱 조건과 척도 함수의 하한 스케일링 지수가 1을 초과한다는 가정 하에서 성립한다.