[논문 리뷰] Heavy flavor operator matrix elements at $O(a_s^3)$

Isabella Bierenbaum, J. Blümlein외 1명|ArXiv.org|2008. 12. 12.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강한 상호작용 상수의 세 번째 차수($O(\alpha_s^3)$)에서 고정된 모멘텀에 대한 중량 쿼크의 연산자 행렬원소(OMEs)에 대한 최초의 독립 계산을 제시하며, $N=2$에서 $12$까지의 $\overline{\text{MS}}$-재정규라이제이션된 $\text{NNLO}$ 비틀림 차수의 페르미온 기여를 확인한다. 결과는 차원 정규화를 사용한 MATAD 패키지를 통해 유도되었으며, 이전 결과를 검증하며, $N=2$에서의 $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$, $A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$, $A_{gq,Q}$에 대한 명시적인 해석적 표현을 포함한다. 이들에는 $\zeta_3$, $\zeta_2^2$, $\text{Li}_4(1/2)$를 포함한 비평면 상수들이 포함되어 있다.

ABSTRACT

The heavy quark effects in deep--inelastic scattering in the asymptotic regime $Q^2 \gg m^2$ can be described by heavy flavor operator matrix elements. Complete analytic expressions for these objects are currently known to ${\sf NLO}$. We present first results for fixed moments at ${\sf NNLO}$. This involves a recalculation of fixed moments of the corresponding ${\sf NNLO}$ anomalous dimensions, which we thereby confirm.

연구 동기 및 목표

• 깊은 비탄성 산란에서 $Q^2 \gg m^2$의 점점 더 큰 영역에서 $O(\alpha_s^3)$ 차수의 고정 모멘텀 중량 쿼크 OMEs를 계산하는 것.
• 독립 계산을 통해 $N=2$에서 $12$까지의 $\text{NNLO}$ 비틀림 차수의 페르미온 기여를 확인하는 것.
• 차원 정규화와 $\overline{\text{MS}}$ 스킴을 사용하여 $N=2$에서 $12$까지의 $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$, $A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$, $A_{gq,Q}$에 대한 해석적 표현을 제공하는 것.
• 합 규칙과 극의 구조 점검을 통해 결과의 일관성을 검증하는 것. 이는 $N=2$의 합 규칙인 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$를 포함한다.

제안 방법

• 계산은 차원 정규화를 사용한 $D=4+\varepsilon$ 차원에서의 삼중 루프 자기에너지 및 병합 도형을 계산하기 위해 MATAD 패키지를 활용한다.
• 피카르도 도형은 온-쉘 질량 재정규라이제이션과 $\overline{\text{MS}}$ 커플링 상수 재정규라이제이션을 사용한 't Hooft-Veltman 스킴에서 평가된다.
• OMEs 는 모든 특이성을 재정규라이제이션과 질량 인화를 통해 제거한 후, $N=2$에서 $12$까지의 짝수 모멘트에 집중하여 멜린 공간에서 계산된다.
• 결과는 $N=2$ 합 규칙과 재정규라이제이션 후 $\zeta_2$ 항이 존재하지 않는다는 점을 확인하여 일관성 검증을 수행한다. 이는 $D\to 4$ 계산에서 예상되는 바이다.
• 계산에는 $\zeta_3$, $\zeta_2^2$, $\text{Li}_4(1/2)$, 그리고 $B_4 = -4\u005Czeta_2\ln^2 2 + \frac{2}{3}\ln^4 2 - \frac{13}{2}\u005Czeta_4 + 16\u005Ctext{Li}_4(1/2)$를 포함한 비평면 상수들이 포함되어 있으며, 이는 진정한 중량 쿼크 효과이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 모멘텀 $N=2$에서 $12$까지의 $O(\alpha_s^3)$ 중량 쿼크 OMEs인 $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$, $A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$, $A_{gq,Q}$의 해석적 값은 무엇인가?
• RQ2 독립적으로 계산했을 때, $\text{NNLO}$ 페르미온 기여가 Ref. [9]의 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 고정 모멘텀 $O(\alpha_s^3)$ OMEs는 $N=2$에서 운동량 합 규칙 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$를 만족하는가?
• RQ4 비평면 상수인 $\text{Li}_4(1/2)$와 $B_4$는 $O(\alpha_s^3)$ OMEs에서 어떤 역할을 하는가? 이들은 경량 쿼크 윌슨 계수에 존재하지 않는가?
• RQ5 재정규라이제이션된 최종 OMEs에서 $\zeta_2$-의존 항들이 사라지는가? 이는 $D\to 4$ 계산에서 예상되는 바이다.

주요 결과

• PS 유형 OME $A_{Q(q)q}^{(3),\text{PS}}$의 상수 항은 $N=2$에서 명시적으로 계산되었으며, $\left(\frac{2048}{81}\u005Czeta_3 - \frac{86480}{2187}\right)C_F T_F^2 n_f + \left(-\frac{3584}{81}\u005Czeta_3 + \frac{53144}{2187}\right)C_F T_F^2 + \left(\frac{64}{9}B_4 - \frac{128}{5}\u005Czeta_2^2 + \frac{1280}{27}\u005Czeta_3 + \frac{830}{2187}\right)C_F C_A T_F + \left(-\frac{128}{9}B_4 + \frac{128}{5}\u005Czeta_2^2 - \frac{9536}{81}\u005Czeta_3 + \frac{95638}{729}\right)C_F^2 T_F$로 표현되며, $B_4$는 식 (8)에 정의된 바와 같다.
• $N=10$과 $N=12$에서 $\text{NNLO}$ 비틀림 차수의 고정 모멘트가 Ref. [9]의 결과와 정확히 일치하여, 독립 계산을 통해 $\text{NNLO}$ 비틀림 차수의 페르미온 기여가 확인되었다.
• $N=2$ 합 규칙인 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$가 계산된 OMEs에 의해 만족되며, 강력한 일관성 검증이 이루어졌다.
• 모든 $\zeta_2$-의존 항이 최종 재정규라이제이션된 OMEs에서 사라졌으며, 이는 $D\to 4$ 계산에서 일반적으로 예상되는 바와 일치한다.
• $B_4$ 상수가 모든 계산된 OMEs에 나타나며, 경량 쿼크 윌슨 계수에는 존재하지 않아, 이는 진정한 중량 쿼크 효과임을 확인한다.
• $A_{Q(q)q}^{(3),\text{PS}}$, $A_{qq,Q}^{(3),\text{NS},+}$, $A_{gq,Q}^{(3)}$의 결과는 단일 및 이중 극 항($\ln(m^2/\mu^2)$에 대한 항 포함)을 포함한 일반적인 재정규라이제이션 구조와 일관된다.