[논문 리뷰] Heavy tail and light tail of Cox-Ingersoll-Ross processes with regime-switching

Tongtong Hou, Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정적분포의 꼬리 행동을 코크스-인거솔-로스(Cox-Ingersoll-Ross, CIR) 과정의 제도 전환을 고려하여 분석하며, 평균 회귀 계수 $ a_{\min} $ 의 부호에 따라 표준 CIR 모형과 달리 무거운 꼬리 분포를 나타낼 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 평균 회귀 계수 $ a_{\min} $ 와 정적분포의 중간 또는 가벼운 꼬리 여부를 연결하는 정밀한 기준을 제시하는 것으로, 이자율 모델링에서 제도 전환의 이론적 근거를 제공한다.

ABSTRACT

This work is denoted to studying the tail behavior of Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes with regime-switching. One essential difference shown in this work between CIR process with regime-switching and without regime-switching is that the stationary distribution for CIR process with regime-switching could be heavy-tailed. Our results provide a theoretical evidence of the existence of regime-switching for interest rates model based on its heavy-tailed empirical evidence. In this work, we first provide sharp criteria to justify the existence of stationary distribution for the CIR process with regime-switching, which is applied to study the long term returns of interest rates. Then under the existence of the stationary distribution, we provide a criterion to justify whether its stationary distribution is heavy-tailed or not.

연구 동기 및 목표

• 제도 전환을 고려한 CIR 과정에서 정적분포의 존재성과 유일성을 보장하는 정밀한 기준을 수립하기.
• 모델의 파라미터에 따라 이러한 과정의 정적분포가 중간 꼬리인지 가벼운 꼬리인지 여부를 조사하기.
• 실제 관측된 중간 꼬리 행동 증거를 바탕으로 제도 전환을 이자율 모델링에 도입하는 데 이론적 근거를 제공하기.
• 제도 전환 CIR 과정의 장기적 행동 및 모멘트 성질에 대한 이해를 확장하기.

제안 방법

• 저자들은 연속 시간 마코프 체인 $ \Lambda_t $ 와 브라운 운동 $ B_t $ 에 의해 구동되는 제도 전환 CIR 과정를 사용한다.
• 이전 연구에서 유도된 에르고딕성 기준을 적용하여 정상 분포 $ \pi $ 가 존재하고 유일함을 보장한다.
• 꼬리 행동를 결정하는 핵심 매개변수 $ \kappa $ 는 불변 측도 $ \mu_i $ 와 계수 $ a_i, b_i, \sigma_i $ 를 통해 정의된다.
• 이토의 공식을 $ r_t^p $ 에 적용하여 모멘트 추정을 유도하고, $ \mathbb{E}[r_t^p] $ 의 경계를 도출하며, 지수 마틴갈 기법을 사용해 모멘트를 통제한다.
• 이 방법은 확률적 분석과 복구 유형의 추론에 기반하며, 이전의 제도 전환 오르누이즈 과정 연구에서 영향을 받았다.
• 핵심 기술적 단계로는 비교 SDE 와 불변 측도를 이용하여 $ \mathbb{E}[r_t^{-1}] $ 의 상한을 구함으로써 $ p \in (0, \kappa) $ 에서의 적분 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제도 전환을 고려한 CIR 과정가 고유한 정적분포를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정적분포가 중간 꼬리인지 가벼운 꼬리인지 여부는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 $ a_{\min} = \min_i a_i $ 의 부호가 정적분포의 꼬리 행동에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 비판적 지수 $ \kappa $ 를 통해 정적분포의 모멘트 구조를 특징지울 수 있는가?
• RQ5 마코프 전환 과정의 불변 측도와 이자율 분포의 꼬리 성질 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 만약 $ a_{\min} > 0 $ 이면, 정적분포 $ \pi $ 는 가벼운 꼬리이며, 어떤 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ \int_{\mathbb{R}_+ \times \mathcal{S}} e^{\delta y} \, d\pi < \infty $ 를 만족한다.
• 만약 $ a_{\min} < 0 $ 이면, 정적분포는 중간 꼬리이며, $ \int_{\mathbb{R}_+ \times \mathcal{S}} y^p \, d\pi < \infty $ 이다. 이는 $ p \in (0, \kappa) $ 일 때에만 성립하며, $ \kappa > 1 $ 이다.
• $ p \geq \kappa $ 이면, 정적분포의 $ p $-번째 모멘트는 무한대이다. 즉, $ \int y^\kappa \, d\pi = \infty $ 이다.
• 비판적 지수 $ \kappa $ 는 불변 측도 $ \mu_i $ 와 계수 $ a_i, b_i, \sigma_i $ 를 통해 정의되며, 모멘트의 유한성 임계값을 결정한다.
• 중간 꼬리의 존재는 적어도 한 제도에서의 음의 평균 회귀와 관련이 있으며, 이는 표준 CIR 모형에서는 발생할 수 없다.
• 결과적으로, 이 연구는 실제 이자율 데이터에서 관측된 중간 꼬리 행동을 설명하며, 이자율 모델링에서 제도 전환의 이론적 근거를 제공한다.