[논문 리뷰] Heavy Tailed Distributions in Finance: Reality or Myth? Amateurs Viewpoint

Lev B. Klebanov, Irina V. Volchenkova|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 28.

Financial Markets and Investment Strategies참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 금융 분야에서의 두꺼운 尾 분포 사용을 도전하며, 눈에 띄는 두꺼운 尾는 분포의 尾를 오해함으로써 발생하는 것으로 주장한다. 체비셰프 유형 부등식과 지수 尾를 지닌 대칭화된 감마 분포를 사용하여, 극단적 이탈(예: 10σ 초과)이 경량 尾, 단일모양 분포에서도 가능함을 보여, 두꺼운 尾 모델이 불필요하다고 한다. 주요 기여는 금융 데이터에서 두꺼운 尾의 경험적 근거에 대한 이론적 비판이다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show that the use of heavy-tailed distributions in Financial problems is theoretically baseless and can lead to significant misunderstandings. The reason for this the authors see in an incorrect interpretation of the concept of the distributional tail. In accordance with this, in applications it is necessary to use instead of the distributional tail the "smearing" of its central part. keywords: heavy tailed distributions, exponential tails, pre-limit theorems, Financial indexes

연구 동기 및 목표

• 금융 모델링에서 두꺼운 尾 분포를 사용하는 이론적 및 경험적 근거를 도전한다.
• ±10σ를 초과하는 극단적 이탈이 단일모양, 경량 尾 분포(예: 대칭화된 감마 분포)에서도 발생할 수 있음을 보여, 두꺼운 尾의 주장과 모순됨을 입증한다.
• 분포 분석에서 '尾' 개념이 금융 분야에서 잘못 적용되어 있으며, 특성 함수의 행동 또는 중심 부분의 퍼짐을 통해 재정의되어야 한다고 주장한다.
• 고도의 첨도와 이상치 빈도가 두꺼운 尾를 의미하는 것이 아니라, 표본 추출 변동성과 고차수 모멘트의 불안정성을 반영한다고 보여준다.
• 무한 분산 또는 두꺼운 尾 극한을 가정하는 것보다, 전극한 정리와 무작위 변수 합의 안정 분포 근사가 더 적절하다고 제안한다.

제안 방법

• 유한 분산이 있는 단일모양 분포에 대해 가우스의 부등식을 적용하여, dσ를 초과하는 이탈 확률를 제한함으로써, 비두꺼운 尾 분포에서도 |X| > 10σ일 확률가 1/225에 이르게 되며, 이는 경량 尾 분포에서 가능함을 보여준다.
• 특성 함수 (1 + mt²)^(-1/m)를 가진 대칭화된 감마 분포를 도입하여, 지수 尾와 모든 차수의 유한 모멘트를 지닌다. 그러나 m이 증가함에 따라 |X| > 10σ일 확률이 증가함을 보여준다.
• 대칭화된 감마 분포의 ν-정규성 성질을 사용하여, 이 분포가 무작위 합의 정규화 분포로 작용함을 보여, 안정 또는 두꺼운 尾 분포 대비 더 자연스럽다는 것을 시사한다.
• 표본 합의 특성 함수를 다양한 α 및 λ 파라미터를 가진 안정 분포에 맞추어 분석하여, 표본 크기 n이 증가함에 따라 α가 증가함을 보여, 안정 분포 수렴과 모순됨을 입증한다.
• 유한 간격 (δ, Δ)에서 특성 함수의 행동을 분석하여 尾 분석의 대체로 사용함으로써, 이는 경험적 데이터 행동을 더 잘 반영한다고 주장한다.
• 무한가소 분포에 대한 콜모고로프의 표준 표현을 적용하여, 첨도 ≥ 3이며 등호는 정규 분포일 때에만 성립함을 증명함으로써, 고도의 첨도가 두꺼운 尾을 의미한다는 주장에 반박한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ±10σ를 초과하는 극단적 이탈이 유한 분산이 있는 단일모양, 경량 尾 분포에서 발생할 수 있는가? 이는 두꺼운 尾 모델의 필요성을 도전한다.
• RQ2 금융 수익률에서의 고도의 첨도는 실제로 두꺼운 尾를 의미하는가, 아니면 표본 추출 변동성과 고차수 모멘트의 불안정성에 기인한 산물인가?
• RQ3 형태 파라미터 1/m과 척도 m을 가진 대칭화된 감마 분포는 지수 尾와 모든 차수의 유한 모멘트를 지닌다. 이 분포는 금융 데이터에서 관측된 극단적 수익의 빈도를 재현할 수 있는가?
• RQ4 표본 합에 대한 전극한 정리와 안정 분포 피팅은 금융 데이터가 안정 법칙을 따른다는 것을 의미하는가, 아니면 경량 尾 변수의 유한 표본 합의 행동을 반영하는가?
• RQ5 기존의 분포 이론에서의 '尾' 개념이 금융 모델링에서 잘못 적용되고 있는가? 만약 그렇다면, 어떤 대체 특성 기준이 사용되어야 하는가?

주요 결과

• σ = 1인 단일모양 분포에서 10σ를 초과하는 이탈 확률는 1/225 ≈ 0.0044로 제한되며, 이는 50,000개 표본에서 222건 이상 발생할 수 있음을 보여, 두꺼운 尾 없이도 극단적 이탈이 가능함을 입증한다.
• 형태 파라미터 1/m과 척도 m을 가진 대칭화된 감마 분포는 지수 尾와 모든 차수의 유한 모멘트를 지닌다. 그러나 |X| > 10σ일 확률은 m이 증가함에 따라 증가하며, m = 100일 때 0.000984872에 도달한다.
• 표본 합에 대한 피팅된 안정 분포 파라미터(표본 크기 n = 1에서 100까지)는 α가 1.269에서 1.976으로 증가하고, λ가 0.227에서 0.962로 증가함을 보여, 정규 분포 수렴을 의미하며, α < 2인 안정 법칙 수렴과 모순된다.
• 분포의 첨도는 항상 ≥ 3이며, 등호는 정규 분포일 때에만 성립하므로, 고도의 첨도만으로는 두꺼운 尾를 의미하지 않음을 증명한다.
• 대칭화된 감마 분포의 특성 함수는 분산 기반 혼합 정규 분포처럼 행동함을 보여, 안정 또는 두꺼운 尾 분포 대비 무작위 분산 효과를 더 잘 모델링할 수 있음을 시사한다.
• 저자들은 금융 분야에서 두꺼운 尾 분포의 사용이 신화이며, '尾' 개념은 특성 함수의 유한 간격에서의 행동 분석 또는 분포 중심 부분의 퍼짐을 통해 재정의되어야 한다고 결론 내린다.