[논문 리뷰] Hechler and Laver Trees

Arnold W. Miller|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 23.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Baire 공간 ω^ω의 부분집합인 Hechler 트리와 Laver 트리를 도입하며, 특정한 무한 분할 성질을 갖는다. 그리고 모든 분석 집합은 어떤 Hechler 트리의 모든 분지와 만나지 않거나, 어떤 Laver 트리의 모든 분지를 포함한다. 이 결과는 분석 집합의 레이머 성질에 대한 Silver의 정리로 이어지며, Martin의 공리 아래에서 Σ²₁ 집합으로 확장되며, 이러한 트리 성질에 대한 게임 이론적 특성화에 적용된다.

ABSTRACT

A Laver tree is a tree in which each node splits infinitely often. A Hechler tree is a tree in which each node splits cofinitely often. We show that every analytic set is either disjoint from the branches of a Heckler tree or contains the branches of a Laver tree. As a corollary we deduce Silver Theorem that all analytic sets are Ramsey. We show that in Godel's constructible universe that our result is false for co-analytic sets (equivalently it fails for analytic sets if we switch Hechler and Laver). We show that under Martin's axiom that our result holds for Sigma^1_2 sets. Finally we define two games related to this property. Latex2e 8 pages Latest version at http://www.math.wisc.edu/~miller/res/index.html

연구 동기 및 목표

• Baire 공간 ω^ω의 부분구조로써, 서로 다른 무한 분할 조건을 갖는 Hechler 트리와 Laver 트리를 정의하고 분석한다.
• Σ¹₁(분석) 집합에 대한 이분법을 확립: 어떤 Hechler 트리의 모든 분지와 만나지 않거나, 어떤 Laver 트리의 모든 분지를 포함한다.
• Martin의 공리를 가정할 때 이분법을 Σ²₁ 집합으로 확장하고, 코-분석 집합에 대해 Gödel의 구조적 유니버스에서의 실패를 보여준다.
• Laver 트리 또는 Hechler 트리의 존재와 관련된 조건을 만족하는 두 개의 새로운 게임을 정의하고 분석한다.

제안 방법

• 모든 노드가 끝이 나지 않는 유한한 확장(즉, cofinitely many immediate extensions)을 갖는 트리를 Hechler 트리로 정의한다.
• 모든 노드가 무한히 많은 즉각적 확장(즉, infinitely many immediate extensions)을 갖는 트리를 Laver 트리로 정의한다.
• 어떤 Hechler 트리가 집합을 피하는 경우가 없음을 가정할 때, 증가하는 증거 길이를 갖는 트리의 수열을 기반으로 한 랭크 기반 구조를 사용하여 Laver 트리를 구성한다.
• Martin의 공리를 적용하여 가чёт수 많은 Hechler 트리 정의 함수들을 지배함으로써, ω₁개의 Borel 집합의 합집합인 Σ²₁ 집합과의 분리성을 증명한다.
• 두 개의 게임을 구성한다: 게임 1은 플레이어들이 번갈아가며 증가하는 정수를 고르는 것이며, 게임 2는 무한 집합과 그 원소를 선택하는 것이다.
• 플레이어 II가 게임 1에서 승리 전략을 가진다는 것과 주어진 집합이 어떤 Laver 트리의 분지를 포함한다는 것이 동치이며, 플레이어 I가 게임 1에서 승리 전략을 가진다는 것과 주어진 집합이 어떤 Hechler 트리의 분지와 만나지 않는다는 것이 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 분석 집합은 어떤 Hechler 트리의 모든 분지와 만나지 않거나, 어떤 Laver 트리의 모든 분지를 포함하는가?
• RQ2 Martin의 공리를 가정할 때, Hechler 트리와 Laver 트리 사이의 이분법은 Σ²₁ 집합으로 확장 가능한가?
• RQ3 어떤 집합에 Laver 트리 또는 Hechler 트리가 존재하는 것과 두 개의 정의된 게임에서 승리 전략이 존재하는 것 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 Gödel의 구조적 유니버스에서 분석 집합에 대한 이분법 결과는 성립하는가?
• RQ5 필터 F에 의해 조절될 때, 코파이니트 및 무한 분할 조건이 조절되는 경우 트리 성질은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 모든 분석 집합 A ⊆ ω^ω는 어떤 Hechler 트리의 분지들과의 교차가 공집합이거나, 어떤 Laver 트리의 분지를 포함한다.
• Martin의 공리를 가정할 경우, 동일한 이분법이 Σ²₁ 집합에 대해 성립하며, 일반적으로 ω₁개의 Borel 집합의 합집합인 모든 집합에 대해 성립한다.
• Gödel의 구조적 유니버스에서는 이분법이 코-분석 집합에 대해 실패한다. 즉, Hechler와 Laver 트리를 뒤바꿔도 결과가 성립하지 않는다.
• 플레이어 II가 게임 1에서 승리 전략을 가진다는 것과 집합이 어떤 Laver 트리의 분지를 포함한다는 것이 동치이다.
• 플레이어 I가 게임 1에서 승리 전략을 가진다는 것과 집합이 어떤 Hechler 트리의 분지들과 만나지 않는다는 것이 동치이다.
• 게임 2에서 플레이어 II가 승리 전략을 가진다는 것과 집합이 어떤 Hechler 트리의 분지를 포함한다는 것이 동치이며, 플레이어 I가 승리 전략을 가진다는 것과 집합이 어떤 Laver 트리의 분지들과 만나지 않는다는 것이 동치이다.