[논문 리뷰] Hecke algebras and involutions in Weyl groups

George Lusztg, David A. Vogan|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 재수정된 군에서 히케 대수, 와일 군의 고정점 변환, 그리고 유니포텐트 표현 사이의 연결 고리를 수립한다. 프로베니우스-슈어 지표와 델 루스티그 다양체의 코homology를 통한 기하적 실현을 이용하여, ε(ρ) = 1인 유니포텐트 표현들로 구성된 가상 표현 Θ가 모든 기약 W-모듈의 표현과 수직인 수정 항 ξ를 제외하고는 R_{M₁}과 일치함을 증명한다. 고전적 유형의 경우 이 수정 항은 0이 되며, 따라서 Θ = R_{M₁}이 성립한다.

ABSTRACT

For any two involutions y,w in a Weyl group (y\le w), let P_{y,w} be the polynomial defined in [KL]. In this paper we define a new polynomial P^σ_{y,w} whose i-th coefficient is a_i-b_i where the i-th coefficient of P_{y,w} is a_i+b_i (a_i,b_i are natural numbers). These new polynomials are of interest for the theory of unitary representations of complex reductive groups. We present an algorithm for computing these polynomials.

연구 동기 및 목표

• 재수정된 군에서 유니포텐트 표현의 구조를 그들의 프로베니우스-슈어 지표 ε(ρ) ∈ {0,1,−1}를 통해 이해하기.
• 가상 표현 ∑ε(ρ)ρ가 델 루스티그 다양체를 통한 W-모듈의 코homological 실현 R_E와 어떻게 관련되는지 밝히기.
• ε(ρ) = 1인 유니포텐트 표현들의 합 Θ가 모든 기약 W-모듈과 수직인 수정 항을 제외하고 R_{M₁}과 일치함을 증명하기.
• 두 측면 셀의 원소 수를 M₁에 포함된 기약 표현의 다중도를 통해 계산하기.

제안 방법

• 유니포텐트 표현에 대한 프로베니우스-슈어 지표를 이용해 가상 표현 Θ = ∑_{ρ∈U, ε(ρ)=1} ε(ρ)ρ를 정의한다.
• 각 W-모듈 E에 대해 기하적 실현 R_E = |W|⁻¹∑_{w∈W} tr(w,E)∑_i(−1)^i H^i_c(X_w, Q̅_l)를 사용한다.
• 삼중체 (F,y,r)와 유니포텐트 표현 ρ_F,y,r 사이의 전단사 관계를 수립하며, ε(ρ_F,y,r) = 1이 되는 것은 |F| ≠ 2 이고 y가 r에 대해 ±1로 작용할 때, 또는 |F| = 2 이고 y = 1일 때 정확히 성립한다.
• 등식 M₁ ≅ gr M₁를 이용해 Θ = R_{M₁} + ξ로 표현하며, 여기서 ξ는 모든 기약 E에 대해 R_E와 수직이다.
• W의 셀 분해를 이용해 M₁^⪯c₁/M^≺c₁를 E ⊣ c인 기약 W-모듈의 직합으로 분석하고, dim(M^⪯c₁/M^≺c₁) = |c ∩ I|를 계산한다.
• 코트비츠의 연구에서 알려진 다중도 (E:M₁)를 적용하여 |c ∩ I|를 명시적으로 ∑_{E⊣c} (E:M₁)dim(E)로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니포텐트 표현 ρ가 ε(ρ) = 1을 만족하는 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 표현들의 합 Θ는 코homological 특성 R_{M₁}과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 등식 Θ = R_{M₁} + ξ에서 수정 항 ξ의 성격은 무엇인가?
• RQ4 두 측면 셀 c와 치환 원소 집합 I의 교차 수 |c ∩ I|는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 수정 항 ξ가 0이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 프로베니우스-슈어 지표 ε(ρ)는 |F| ≠ 2 이고 y가 r에 대해 ±1로 작용할 때, 또는 |F| = 2 이고 y = 1일 때에만 1이 된다.
• ε(ρ) = 1인 유니포텐트 표현들의 합 Θ는 Θ = R_{M₁} + ξ를 만족하며, 여기서 ξ는 모든 기약 W-모듈 E에 대해 R_E와 수직이다.
• 고전적 유형의 와일 군의 경우 수정 항 ξ는 0이 되며, 따라서 Θ = R_{M₁}이 성립한다.
• F₄ 또는 E₈ 유형의 W에 대해서는 (ξ,ξ) = 1 이므로 ξ ≠ 0 이지만, 여전히 모든 R_E와 수직이다.
• 두 측면 셀 c에 속하는 치환 원소의 수는 |c ∩ I| = ∑_{E⊣c} (E:M₁)dim(E)로 주어지며, 여기서 (E:M₁)는 E가 M₁에 포함된 다중도이다.
• 이 공식은 코트비츠의 연구에서 알려진 다중도를 이용해 |c ∩ I|를 명시적으로 계산할 수 있다.