[논문 리뷰] Hecke algebras for inner forms of p-adic special linear groups

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 특수선형군 $\mathrm{SL}_n(F)$의 내부형식에 대한 베르누이 항등성분의 헤크 대수를 $\mathrm{GL}_n(F)$의 내부형식으로부터 제한함으로써 구축한다. $\mathrm{GL}_n(F)$의 타입을 활용하고 유도군 $G^\sharp$로 내림내림함으로써, 각 L-구분불가능한 베르누이 항등성분 패킷에 대해 복소수 smooth $G^\sharp$-표현의 모듈러 범주와 동치인 명시적인 대수를 제시한다. 핵심 결과는 이러한 헤크 대수가 유형 $A$의 아핀 헤크 대수와 유사하지만, 항상 그러한 대수와 유한군의 외적곱의 모리타 동치가 되는 것은 아님을 보여준다.

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field and let $G^\sharp$ be the group of F-rational points of an inner form of $SL_n$. We study Hecke algebras for all Bernstein components of $G^\sharp$, via restriction from an inner form G of $GL_n (F)$. For any packet of L-indistinguishable Bernstein components, we exhibit an explicit algebra whose module category is equivalent to the associated category of complex smooth $G^\sharp$-representations. This algebra comes from an idempotent in the full Hecke algebra of $G^\sharp$, and the idempotent is derived from a type for G. We show that the Hecke algebras for Bernstein components of $G^\sharp$ are similar to affine Hecke algebras of type A, yet in many cases are not Morita equivalent to any crossed product of an affine Hecke algebra with a finite group.

연구 동기 및 목표

• 내부형식 $G^\sharp$의 $p$-진 $\mathrm{SL}_n(F)$의 표현 이론을, 베르누이 항등성분에 관련된 헤크 대수를 통해 이해하기.
• 복소수 smooth $G^\sharp$-표현의 범주와 명시적인 헤크 대수 위의 모듈러 범주 사이의 모리타 동치를 구축하기.
• 결과적으로 $G^\sharp$에 대응하는 헤크 대수가 유형 $A$의 아핀 헤크 대수와 구조적으로 유사하지만, 일반적으로 그러한 대수와 유한군의 외적곱의 모리타 동치가 되지 않는다는 것을 보여주기.
• $G = \mathrm{GL}_m(D)$에서 $G^\sharp$로의 내림내림을 통해 $\mathrm{GL}_n(F)$-타입에서 $\mathrm{SL}_n(F)$-타입으로의 내림내림 절차 수립하기.

제안 방법

• $\mathrm{GL}_n(F)$-표현에 대한 타입의 사용, 특히 세샤르-스티븐스가 제안한 베르누이 항등성분에 대한 타입의 구축.
• $D$가 $F$ 위의 분할대수일 때, $G = \mathrm{GL}_m(D)$에서 유도된 $G^\sharp$의 전체 헤크 대수 내에서 특정한 아이소토프를 구성하기.
• 감소정규화 사상과 중간군 $H^\sharp = G^\sharp Z(G)$의 구조를 이용하여, $G$에서 그 유도군 $G^\sharp$로의 헤크 대수의 제한을 통한 감소.
• 베르누이 블록 이론과 베르누이 토러스 $T_{\mathfrak{s}}$, 유한 웨일 군 $W_{\mathfrak{s}}$의 사용을 통한 성분 분류.
• 프로젝티브 정규화자와 상호연결 연산자 $I(\gamma, \pi)$ 및 $X^G({\mathfrak{s}}/\lambda)$를 이용하여 $G$와 $G^\sharp$ 사이의 표현을 연결하기.
• 최종적으로, $\mathfrak{t}^\sharp \prec \mathfrak{s}$에 대해 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{t}^\sharp}$의 곱으로서 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$를 명시적으로 계산하며, 이는 $\mathcal{H}(G^\sharp)$ 내의 아이소토프로부터 유도됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부형식 $G^\sharp$의 $p$-진 $\mathrm{SL}_n(F)$에 대한 smooth 복소수 표현의 범주는 어떻게 헤크 대수로 묘사될 수 있는가?
• RQ2 베르누이 항등성분 $\mathfrak{s}$에 대응하는 $G^\sharp$에 대한 헤크 대수 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$의 구조는 어떠한가?
• RQ3 이러한 $G^\sharp$에 대한 헤크 대수는 얼마나 유형 $A$의 아핀 헤크 대수와 모리타 동치인가?
• RQ4 표현 이론이 $G^\sharp$에서 $G = \mathrm{GL}_m(D)$로의 제한과 아이소토프 내림내림을 통해 축소될 수 있는가?
• RQ5 L-구분불가능한 $G^\sharp$의 베르누이 항등성분 패킷은 그들의 헤크 대수 측면에서 어떻게 상호연결되어 있는가?

주요 결과

• 베르누이 항등성분 $\mathfrak{s}$에 대응하는 $G^\sharp$에 대한 헤크 대수 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$는 $\mathcal{H}(G^\sharp)$ 내의 아이소토프로부터 유도된 특정 대수의 모듈러 범주와 모리타 동치이다.
• 이 대수는 $G = \mathrm{GL}_m(D)$에 대한 타입에서 유래되며, 아이소토프는 $G$의 헤크 대수에서 $G^\sharp$로의 내림내림을 통해 구성된다.
• 최종적으로 유도된 $G^\sharp$에 대한 헤크 대수는 유형 $A$의 아핀 헤크 대수와 구조적으로 유사하지만, 일반적으로 그러한 대수와 유한군의 외적곱의 모리타 동치가 되지는 않는다.
• 범주 $\mathrm{Rep}^\mathfrak{s}(G^\sharp)$는 $\mathfrak{t}^\sharp \prec \mathfrak{s}$에 따라 인덱싱된 베르누이 블록 $\mathrm{Rep}^{\mathfrak{t}^\sharp}(G^\sharp)$의 곱으로 분해되며, 이에 대응하는 헤크 대수 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{t}^\sharp}$는 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$의 최대 불가분 부분대수이다.
• 모든 L-패킷에 대해, 해당하는 헤크 대수가 명시적으로 묘사되며, 이는 그 패킷 내의 smooth $G^\sharp$-표현의 범주와의 모리타 동치를 제공한다.
• 예시를 통한 검증을 통해, $G^\sharp$ 내에서 공轭이지만 $G^1$ 내에서는 공轭이 아닌 타입의 경우가 존재함을 보여주며, 내림내림 과정에서 전체 군의 구조가 반드시 필요함을 입증한다.