[논문 리뷰] Hecke and Galois Properties of Special Cycles on Unitary Shimura Varieties

Dimitar Jetchev|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 24.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$에 대한 유니타리 쇼이마 다양체 위에서 특수 사이클의 오일러 체계를 구축하며, 브라하트-티츠 빌딩과 국소 헤이크 대수를 통해 헤이크 작용과 갈루아 작용 사이의 명시적 분포 관계를 확립한다. 주요 기여는 유니타리 군 위의 자동형 양식에 관련된 갈루아 표현에 대한 블로흐–카토–베일린슨 추측의 새로운 사례를 제공하는 새로운 오일러 체계를 제안하는 것이다.

ABSTRACT

We define and study a collection of special cycles on certain non-PEL Shimura varieties for $U(2,1) imes U(1,1)$ that appear naturally in the context of the recent conjectures of Gan, Gross and Prasad on restrictions of automorphic forms for unitary groups and conjectural generalizations of the Gross--Zagier formula. We prove a combinatorial formula expressing the Galois action in terms of the distance function on the Bruhat--Tits buildings for these groups. In addition, we calculate explicitly the Hecke polynomial appearing in the congruence relation conjectured by Blasius and Rogawski. Using methods and recent results of Koskivirta, we prove the congruence relation in this case. Finally, using the action of the local Hecke algebra on the Bruhat--Tits building, we establish explicit relations (distribution relations) between the Hecke action and the Galois action on the special cycles. These relations are key for a work in progress by the author on constructing a new Euler system from these cycles and using it to prove instances of the Bloch{Kato{ Beilinson conjecture for certain Galois representations associated to automorphic forms on unitary groups.

연구 동기 및 목표

• 유니타리 쇼이마 다양체 위에서 고차원 특수 사이클의 오일러 체계를 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$에 대해 비-PEL 조건 하에서 구축하며, 그 목적은 그로스–자지에르 및 간–그로스–프라사드 추측에 기반한다.
• 브라하트-티츠 빌딩의 기하학을 이용하여 국소 헤이크 대수 작용과 사이클 위 갈루아 작용 사이의 분포 관계를 확립한다.
• Blasius–Rogawski 합동관계에서의 헤이크 다항식을 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$의 경우에 대해 명시적으로 계산한다.
• 자기표현 갈루아 표현에 대한 블로흐–카토–베일린슨 추측의 새로운 사례를 증명하고, 세일머 그룹을 연구하는 데 사용할 수 있는 새로운 오일러 체계를 제공한다.
• p-진 아벨-야코비 사상과 코homological 클래스를 통해 고차원 유니타리 군으로의 코리볼린 스타일 오일러 체계 기법을 일반화한다.

제안 방법

• 서명 $(n-1,1)$과 $(n,0)$을 가진 헤르미트 공간을 사용하여 유니타리 쇼이마 다양체 위에서 특수 사이클을 정의하며, 주요 케이스로 $n=3$을 고려한다.
• 고정된 비분할 자리 $\tau$에서의 고정된 균일화자에 대한 거리 함수를 통해 브라하트-티츠 빌딩을 이용하여 갈루아 작용을 사이클 위에서 기하학적으로 표현한다.
• 국소 헤이크 대수 $\mathcal{H}(G_\tau, K_\tau)$를 적용하여 사이클 위의 작용을 계산하고, 아르틴 사상을 통해 갈루아 콜레지언과 관련지운다.
• 국소 헤이크 대수와 분해군의 작용이 서로 가환함을 보여, 갈루아 콜레지언 사이클의 다중도가 동일함을 보여 분포 관계를 확립한다.
• 지역 군자 $\varpi^n$을 가진 정확한 사이클의 추적을 정의하기 위해 추적 사상 $\operatorname{Tr}_{n,m}$를 사용한다. 이는 헤이겐 포인트 이론의 링 클래스 필드 추적과 유사하다.
• 사타케 변환과 상호법칙을 적용하여, 결과로 얻어진 사이클 조합이 추적 사상 $\operatorname{Tr}_{2,0}$의 이미지에 속한다는 것을 확인함으로써 오일러 체계 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라하트-티츠 빌딩을 이용하여, 고정된 비분할 자리 $\tau$에서 유니타리 쇼이마 다양체 위 특수 사이클의 갈루아 작용을 기하학적으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 Blasius–Rogawski 합동관계에서 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$에 대해 헤이크 다항식의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 국소 헤이크 대수 작용과 특수 사이클 위 분해군 작용 사이에 분포 관계가 성립하는가? 이는 오일러 체계를 암시하는가?
• RQ4 결과로 얻어진 사이클 클래스는 자동형 양식에 관련된 갈루아 표현과 연결된 세일머 그룹에서 코homology 클래스를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 이러한 관계는 코리볼린의 오일러 체계인 헤이겐 포인트를 고차원 유니타리 군으로 얼마나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 갈루아 작용은 고정된 비분할 자리 $\tau$에서 $\operatorname{\mathbf{U}}(V)\times\operatorname{\mathbf{U}}(W)$의 브라하트-티츠 빌딩 위에서 거리 함수를 통해 표현된다.
• Blasius–Rogawski 합동관계에서의 헤이크 다항식이 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$의 경우에 대해 명시적으로 계산되었으며, 이는 구체적인 산술 불변량을 제공한다.
• 국소 헤이크 대수와 분해군의 작용이 서로 가환함을 보여, 갈루아 콜레지언 사이클의 다중도가 동일함을 증명함으로써 헤이크 작용과 갈루아 작용 사이의 분포 관계를 확립한다.
• 적분 $\int_\tau(\xi) = (0,0)$를 만족하는 사이클 클래스 $\xi$는 $H_\tau(1)\cdot\xi = \sum_{(a,b)} \sum_x m_{a,b}(x) \xi_{a,b}^{\operatorname{Art}_{E_\tau}(x)}$를 만족하며, 다중도 $m_{a,b}(x)$가 동일하므로 오일러 체계 성질이 증명된다.
• 결과로 얻어진 사이클 조합은 추적 사상 $\operatorname{Tr}_{2,0}$의 이미지에 속함을 확인하여 오일러 체계 조건을 확인하고, 블로흐–카토–베일린슨 추측에의 응용을 가능하게 한다.
• 이러한 구성은 세일머 그룹을 연구하고, 자동형 갈루아 표현에 대한 블로흐–카토–베일린슨 추측의 새로운 사례를 증명하는 데 사용할 수 있는 새로운 오일러 체계를 제공한다.