[논문 리뷰] Height and contour processes of Crump-Mode-Jagers forests (I): general distribution and scaling limits in the case of short edges

Emmanuel Schertzer, Florian Simatos|Open Archive Toulouse Archive Ouverte (University of Toulouse)|2015. 06. 10.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Crump-Mode-Jagers (CMJ) 숲의 높이 과정과 윤곽 과정 사이의 일반적인 분포적 관계를 밝혀내며, 그 기반에 있는 Lukasiewicz 경로의 단계 높이 과정과의 관계를 설정한다. 짧은 간선을 가정할 경우, 높이 과정이 Galton-Watson 높이 과정과 선형으로 스케일링되며, 윤곽 과정은 일정한 시간 변화를 통해 유도되며, CMJ 숲은 유한차원 분포에서 한계 과정으로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

Crump-Mode-Jagers (CMJ) trees generalize Galton-Watson trees by allowing individuals to live for an arbitrary duration and give birth at arbitrary times during their life-time. In this paper, we are interested in the height and contour processes encoding a general CMJ tree. We show that the one-dimensional distribution of the height process can be expressed in terms of a random transformation of the ladder height process associated with the underlying Lukasiewicz path. As an application of this result, when edges of the tree are "short" we show that, asymptotically, (1) the height process is obtained by stretching by a constant factor the height process of the associated genealogical Galton-Watson tree, (2) the contour process is obtained from the height process by a constant time change and (3) the CMJ trees converge in the sense of finite-dimensional distributions.

연구 동기 및 목표

• CMJ 숲의 높이 과정의 일변도 분포를 그 기반에 있는 Lukasiewicz 경로의 단계 높이 과정의 랜덤 변환을 통해 기술하기 위해.
• 간선 길이가 나무 크기 대비 짧을 경우 CMJ 숲에서 높이 및 윤곽 과정의 渐近적 행동을 조사하기 위해.
• 유한차원 분포의 관점에서 CMJ 숲의 기능적 수렴을 확립하기 위해.
• 짧은 간선 가정 하에 고전적인 Galton-Watson 트리의 스케일링 극한 결과를 더 일반적인 CMJ 프레임워크로 확장하기 위해.
• 유한 분산 및 무한 분산을 가진 후손 분포의 경우 높이 및 윤곽 과정의 스케일링 극한 행동을 통합하기 위해.

제안 방법

• CMJ 숲의 Lukasiewicz 경로와 관련된 단계 높이 과정의 랜덤 변환을 통해 높이 과정의 분포를 유도한다.
• 스피인 분해와 연속시간 마르코프 분열 브랜치 과정에 대한 CMJ 숲의 임bedding을 통해 경로의 구조를 분석한다.
• 약한 수렴 기법을 적용하여 정규화된 높이 과정이 관련 Galton-Watson 트리의 높이 과정의 상수 배수로 수렴함을 보인다.
• 기능적 극한 정리의 활용을 통해 높이 과정에 일정한 시간 변화를 적용함으로써 윤곽 과정의 수렴을 확립한다.
• 짧은 간선 가정 하에서 수렴을 제어하기 위해 쌍방향 기법과 재생 과정 및 재생 측도를 활용한 유계성 논증을 사용한다.
• 기저 Lévy 과정과 관련 재생 과정의 수렴을 활용하여 산술적 및 비산술적 경우 모두에서 스케일링 극한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 CMJ 숲의 높이 과정은 그 기반에 있는 Lukasiewicz 경로의 단계 높이 과정으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 간선 길이가 짧을 경우 CMJ 숲에서 높이 및 윤곽 과정의 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ3 CMJ 숲이 유한차원 분포에서 한계 과정으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 높이 및 윤곽 과정의 스케일링 극한은 관련 Galton-Watson 과정의 것과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 간선 길이 분포의 산술성 또는 비산술성이 높이 및 윤곽 과정의 수렴에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• CMJ 숲에서 높이 과정의 일변도 분포는 기반에 있는 Lukasiewicz 경로의 단계 높이 과정의 랜덤 변환으로 분포된다.
• 간선이 짧을 경우, CMJ 숲의 정규화된 높이 과정은 관련 Galton-Watson 트리의 높이 과정의 상수 배수로 약한 수렴한다.
• CMJ 숲의 정규화된 윤곽 과정은 높이 과정과 동일한 한계 과정으로 수렴하지만, 일정한 시간 변화가 적용된다.
• 비판적 경우에서 분산이 유한할 경우, 높이 및 윤곽 과정은 $ \frac{2}{\sigma} $로 스케일된 반사 브라운 운동으로 수렴하며, 여기서 $ \sigma $는 후손 분포의 분산이다.
• 무한 분산을 가진 경우, 후손 분포가 $ \alpha $-안정 분포의 영역에 속하며 $ \alpha \in (1,2) $일 경우, 스케일링 극한은 스펙트르리 플러스 Lévy 과정의 기능적 형태가 된다.
• 짧은 간선 가정 하에서 유한차원 분포의 유계성이 확립되었으며, 산술적 및 비산술적 경우 모두에서 쌍방향 및 재생 이론 논증을 통해 수렴이 증명되었다.