[논문 리뷰] Height process for super-critical continuous state branching process

Jean‐François Delmas|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 16인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 초임계 연속 상태 분열 과정(CSBP)에 대해 이차 분열 메커니즘을 가진 높이 과정을 정의하기 위해, a→∞일 때 [0,a]에서 양의 드리프트를 가진 반사 브라운 운동의 프로젝티브 리미트를 구성함으로써 초임계 연속 상태 분열 과정에 대한 높이 과정을 제안한다. 이는 자식 분열과 크기-편향된 이민 사이의 이중성을 수립하고, 레이-나이트 정리를 초임계 경우로 일반화하며, 높이 과정의 국소 시간이 초임계 CB 과정으로 진화함을 증명한다.

ABSTRACT

We define the height process for super-critical continuous state branching processes with quadratic branching mechanism. It appears as a projective limit of Brownian motions with positive drift reflected at 0 and a>0 as a goes to infinity. Then we extend the pruning procedure of branching processes to the super-critical case. This give a complete duality picture between pruning and size proportional immigration for quadratic continuous state branching processes.

연구 동기 및 목표

• 이차 분열 메커니즘을 가진 초임계 연속 상태 분열 과정(CSBP)에 대해 높이 과정을 정의함으로써, 임계 및 초임계 이외의 경우로까지 유전자 계통 기록을 확장하는 것.
• 초임계 경우에서 0 수준의 국소 시간 도달 시간이 무한일 수 있다는 문제를 해결하기 위해, 수준 a에 유한한 상한 흡수 장벽을 도입하는 것.
• a>0에 대해 [0,a]에서 높이 과정의 일관된 가족을 구성하고 a→∞일 때의 프로젝티브 리미트를 취함으로써 초임계 CSBP에 대한 보편적인 높이 과정을 정의하는 것.
• 이차 CSBP에서 자식 분열(서브트리 제거)과 크기-편향된 이민 사이의 이중성을 수립함으로써, 레이-나이트 정리를 초임계 영역으로 일반화하는 것.

제안 방법

• a>0에 대해 H^θ,a를 0과 a에서 반사되고 드리프트가 -2θ인 브라운 운동으로 정의한다.
• 시간-변형된 국소 시간 아래 b 이하의 경로를 역행함으로써 C^a에서 C^b로 사상하는 투사 사상 π_{a,b}를 통해 일관된 과정 가족을 수립한다.
• 반사 확산의 마코프 성질과 강한 마코프 성질을 이용하여 (H^θ,a, a>0)의 일관성을 증명한다.
• C([0,∞), [0,∞)) 값을 가지며 필요한 유한차원 분포를 가지는 càdlàg 과정으로서 H^θ = (H^θ,a, a≥0)의 프로젝티브 리미트를 구성한다.
• 시험 함수 g를 사용한 하부마르팅글 문제 접근법을 통해 극한 과정의 법칙을 특성화하며, 이 과정이 드리프트 -2(θ+γ)를 가진 반사 확산의 SDE를 만족함을 보인다.
• 수준 r에서의 높이 과정의 국소 시간, 즉 수준 0에 도달하는 시간 T^θ = inf{t>0 : L^θ_0(t) = x}까지의 국소 시간은 분열 메커니즘이 ψ_θ인 초임계 CB 과정과 동일하게 분포함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초임계 연속 상태 분열 과정에 대해 이차 분열 메커니즘을 가질 때, 무한한 멸종 시간 가능성이 있음에도 불구하고 높이 과정을 정의할 수 있는가?
• RQ2 과정이 거의 확실히 멸종하지 않는 한, 초임계 CSBP의 유전자 구조는 어떻게 높이 과정을 통해 코딩될 수 있는가?
• RQ3 상한 흡수 장벽 a→∞일 때의 높이 과정의 점근적 행동은 어떠한가? 그리고 일관된 프로젝티브 리미트를 유도하는가?
• RQ4 임계 경우와 유사하게, 초임계 경우에서도 자식 분열 작업과 이민 사이에 이중성이 존재하는가?
• RQ5 수준 r에서의 높이 과정의 국소 시간은 동일한 분열 메커니즘을 가진 초임계 CB 과정으로 진화하는가?

주요 결과

• 초임계 CSBP에 대한 높이 과정 H^θ는 a→∞일 때 [0,a]에서 드리프트 -2θ를 가진 반사 브라운 운동의 프로젝티브 리미트로 정의된다.
• 투사 사상 π_{a,b}에 대해 (H^θ,a, a>0)의 과정 가족은 일관되며, 이는 프로젝티브 리미트 H^θ의 존재를 보장한다.
• 수준 r에서의 국소 시간 과정 L^θ(r, T^θ)는 T^θ = inf{t>0 : L^θ_0(t) = x}까지의 시간 동안, 분열 메커니즘이 ψ_θ(u) = 2u² + 4θu인 초임계 CB 과정과 동일하게 분포한다.
• 이차 CSBP에서 자식 분열과 크기-편향된 이민 사이의 이중성은 성립한다: 나무에서 자식 분열은 쌍대 과정에서 이민 성분을 추가하는 것으로 대응된다.
• 극한 과정 H^θ는 드리프트 -2θ를 가지며 0과 ∞에서 반사되는 브라운 운동의 SDE를 만족하며, 그 국소 시간 구조는 CSBP 역학을 복원한다.
• 증명은 하부마르팅글 문제 특성화에 기반하며, 국소 시간 과정이 초임계 CB 과정의 생성자 조건을 만족함을 보여 이중성을 확인한다.