[논문 리뷰] Heights of varieties in multiprojective spaces and arithmetic Nullstellensatze

Carlos D’Andrea, Térésa Krick외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 23.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 산술적 교차 이론과 캐논컬 믹스드 높이를 사용하여 다중사영 공간 내의 다양체 위에서 산술적 Nullstellensatz에 대한 다항식의 차수와 높이에 대한 효과적인 경계를 확립한다. Jelonek의 기하학적 결과를 산술적 설정으로 확장하여 다양체 위에서 베주 부등식에 대한 명시적인 차수와 높이 추정치를 제공하며, 암묵화 및 수체 위의 효과적 대수기하학에 적용된다.

ABSTRACT

We present bounds for the degree and the height of the polynomials arising in some central problems in effective algebraic geometry including the implicitation of rational maps and the effective Nullstellensatz over a variety. Our treatment is based on arithmetic intersection theory in products of projective spaces and extends to the arithmetic setting constructions and results due to Jelonek. A key role is played by the notion of canonical mixed height of a multiprojective variety. We study this notion from the point of view of resultant theory and establish some of its basic properties, including its behavior with respect to intersections, projections and products. We obtain analogous results for the function field case, including a parametric Nullstellensatz.

연구 동기 및 목표

• 다중사영 공간 내 대수적 다양체 위에서 베주 부등식에 대한 다항식의 차수와 높이에 대한 효과적인 경계를 개발하는 것.
• 산술적 교차 이론을 사용하여 Jelonek의 효과적 Nullstellensatz에 대한 기하학적 결과를 산술적 설정으로 확장하는 것.
• 특히 Q와 함수체 위에서 사영 공간의 곱에서의 사이클에 대한 캐논컬 믹스드 높이를 도입하고 연구하는 것.
• 명시적인 차수와 높이 추정치를 포함한 매개변수형 및 강력한 산술적 Nullstellensatz를 수립하는 것.
• 이 경계를 암묵화 문제와 수체 위의 효과적 대수기하학 문제에 적용하는 것.

제안 방법

• 저자들은 산술적 교차 이론과 결과식 이론의 도구를 사용하여 다중사영 공간 내 사이클의 캐논컬 믹스드 높이를 정의하고 분석한다.
• 제거 이론과 다중사영 기하학에서의 제거자와 결과식의 사용을 통해 암묵식의 높이에 대한 경계를 확립한다.
• 이 방법은 다항식을 함수체로 올리고, 매개변수형 Nullstellensatz를 적용하며, 계수 추출을 통해 정수 항등식을 추출하는 것을 포함한다.
• 핵심 기술 도구로는 혼합 차수, 복소다항식의 측도, 계수의 로그 노름을 통한 높이 추정이 포함된다.
• 이 접근법은 특히 캐논컬 다양체의 높이와 결과식을 통한 차수 경계를 활용하여 대수기하학과 산술기하학을 융합한다.
• 구성은 계수의 매개변수화와 단항식 지지 집합을 이용하여 베주 부등식 내에서 높이 성장률을 제어하는 데 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Q 위에서 주어진 다양체에 대해 사라지는 다항식의 Bézout 항등식에 대한 효과적인 차수와 높이 경계는 무엇인가?
• RQ2 사영 공간의 곱에서 사이클의 캐논컬 믹스드 높이는 그 기하학적 및 산술적 복잡성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 매개변수형 Nullstellensatz는 계수가 변하는 다양체 위의 다항식 가중치에 대해 효과적인 경계를 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 다중사영 공간 내에서 유리 사상에 의한 암묵식의 높이는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 다중사영 기하학에서의 혼합 차수와 결과식은 효과적 Nullstellensatz의 복잡성을 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• 순수 차원 $ r $인 다양체 $ V \subset \mathbb{A}^n(\overline{\mathbb{Q}}) $ 과 $ \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n] $ 내의 다항식 $ f_1, \dots, f_s $ (여기서 $ s \leq r+1 $) 이 $ V $ 상에서 공통의 영점이 없을 경우, $ \deg(g_i f_i) \leq \left( \prod_{j=1}^s d_j \right) \deg(V) $ 를 만족하는 Bézout 항등식 $ \alpha = \sum g_i f_i $ 이 존재한다. 여기서 $ d_j = \deg(f_j) $.
• 다음과 같은 높이 경계가 성립한다: $ \operatorname{h}(\alpha), \operatorname{h}(g_i) + \operatorname{h}(f_i) \leq \left( d_s \prod_{j=1}^r d_j \right) \left( \widehat{h}(V) + \deg(V) \left( \frac{h_s}{d_s} + \sum_{\ell=1}^r \frac{h}{d_\ell} + 3r\log(s-r) + (6r+8)\log(n+3) \right) \right) $, 여기서 $ h_j = \operatorname{h}(f_j) $.
• 논문은 함수체 위에서 매개변수형 Nullstellensatz를 증명하여, 계수들이 $ \mathbb{Z}[\mathbf{v}] $ 에 속하는 다항식의 가중치에 대해, 계수의 지지 집합과 차수에 따라 제어 가능한 차수와 높이로 Bézout 항등식을 올릴 수 있음을 보였다.
• 강력한 산술적 Nullstellensatz의 경우, 항등식 $ \alpha g^\mu = \sum g_i f_i $ 에서 $ \alpha $ 와 $ g_i $ 에 대한 경계를 유도하였으며, 이는 $ \widehat{h}(V) $, $ \deg(V) $, 그리고 $ n $, $ d_j $, $ s $ 에 대한 로그 항을 포함하는 명시적인 높이 제어를 포함한다.
• 사이클의 캐논컬 믹스드 높이가 사영, 교차, 곱에 대해 잘 행동하며, 결과식 이론과 혼합 차수를 통해 특성화됨을 보였다.
• 유리 사상에서의 암묵식의 높이는 입력 사상의 차수와 높이에 대한 함수로 경계지며, 변수의 수와 계수 지지 집합의 크기에 명시적인 의존성을 가진다.