[논문 리뷰] Heights on stacks and a generalized Batyrev-Manin-Malle conjecture

Jordan S. Ellenberg, Matthew Satriano외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전역체 위의 대수적 스택에서 유리점의 높이에 대한 새로운 개념을 도입하며, 대칭다항식의 Batyrev–Manin 추측과 수체에서의 Malle의 추측을 일반화한다. 저자들은 스택 위의 벡터(bundle)를 사용하여 높이를 정의하고, 분류 스택, 대칭곱, 가중 투영 스택 등 핵심 예시에서 이를 계산하며, 높이가 유계인 유리점의 점차적 증가를 예측하는 통합된 추측을 제안한다.

ABSTRACT

We define a notion of height for rational points with respect to a vector bundle on a proper algebraic stack with finite diagonal over a global field, which generalizes the usual notion for rational points on projective varieties. We explain how to compute this height for various stacks of interest (for instance: classifying stacks of finite groups, symmetric products of varieties, moduli stacks of abelian varieties, weighted projective spaces). In many cases our uniform definition reproduces ways already in use for measuring the complexity of rational points, while in others it is something new. Finally, we formulate a conjecture about the number of rational points of bounded height (in our sense) on a stack X, which specializes to the Baytev-Manin conjecture when X is a scheme and to Malle's conjecture when X is the classifying stack of a finite group.

연구 동기 및 목표

• 스킴처럼 사영 공간에 매장되지 않는 대수적 스택에서 유리점에 대한 표준 높이 정의의 부재를 해결하기 위해.
• 프로젝티브 다양체에서의 고전적 Batyrev–Manin 추측(유계 높이를 가진 유리점의 수)과 유계 판별식을 가진 수체에서의 Malle의 추측을 일반화하기 위해.
• 벡터(bundle)와 관련된 높이를 사용하여 스택 위의 유리점의 복잡도를 측정하는 통일된 프레임워크를 제공하기 위해.
• 특정 중요한 스택들, 즉 $BG$, 다양체의 대칭곱, 아벨 다양체의 모듈리 스택, 가중 투영 스택 등에 대해 새로운 높이 불변량을 계산하기 위해.
• 스택 위에서 높이가 유계인 유리점의 점차적 수를 예측하는 추측을 제안하기 위해. 이 추측은 적절한 경우에 Batyrev–Manin과 Malle의 추측으로 특수화된다.

제안 방법

• 전역체 위의 유한 대각선을 가진 올림프로젝티브 대수적 스택에서 벡터(bundle)를 사용하여 높이 함수를 정의함으로써, 사영 다양체에서의 Weil의 높이를 일반화함.
• 스택의 유한 커버에 대한 당김을 통해 높이를 구성하기 위해 '튜닝 스택(tuning stack)'과 '튜닝 층(tuning sheaf)'의 개념을 사용함.
• 다양한 커버와 스택의 특성 간 일관성을 확보하기 위해 局소 불일치 보정(local discrepancy correction)을 도입함.
• 특정 스택들에 높이 정의를 적용함: 유한군 $G$에 대한 $BG$, $B\mu_n$, 다양체의 대칭곱, 가중 투영 스택, 아벨 다양체의 모듈리 스택.
• 스택 곡선 위에서 Arakelov 이론과 교차 이론을 사용하여, 정칙 스킴에 대한 유한 평탄 커버를 통해 선다발과 토파스 층의 차수를 정의함.
• 스택 위에서 높이가 유계인 유리점의 점차적 증가에 대한 추측을 제안함. 이 추측의 지수는 '스택 특유의 반가역 높이(stacky anti-canonical height)'와 기대 변형 차원(expected deformation dimension)에 의해 결정됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 다양체에서의 고전적 높이와 수체에서의 판별식 기반 수세기와 일반화된 대수적 스택에서의 유리점에 대한 높이 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 높이 구성법이 산술기하학에서 기존의 수기적 개념의 복잡도와 일치하는 경우는 언제인가?
• RQ3 스택 위에서 높이가 유계인 유리점의 점차적 행동은 어떻게 되며, 이는 어떻게 Batyrev–Manin과 Malle의 추측을 통합하는가?
• RQ4 스택 곡선과 고차원 스택의 맥락에서, 높이가 당김과 유한 사상에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 기대 변형 차원(edd)은 스택 위에서 유리점의 증가율을 예측하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 높이 구성법은 프로젝티브 다양체에서의 고전적 Weil 높이를 일반화하며, $BG$와 가중 투영 스택에서 알려진 높이 개념을 복원한다.
• 유한군 $G$의 분류 스택 $BG$의 경우, 높이 함수는 $G$-확장의 판별식에 대응하며, 수체의 수세기에서 Malle의 추측을 점차적 수세기로 복원한다.
• 다양체 $\mathbb{P}^n$의 대칭곱의 경우, 높이 함수는 표준적인 높이 정의와 일치하며, 추측은 명시적인 지수를 가진 형태의 점차적 증가 $cB^{a}(\log B)^b$를 예측한다.
• 가중 투영 스택에서 높이 함수는 Deng와 Beshaj–Gutierrez–Shaska의 기존 정의와 일치하여, 기존 사례에서의 구성의 타당성을 검증한다.
• 추측은 기대 변형 차원(edd)이 음수일 경우, 높이가 유계인 유리점의 수가 유한하다고 예측하며, 이는 Lang–Vojta 추측의 스택 특유의 해석으로 보인다.
• 정의 B.5의 차수 정규화를 통해, 높이는 선택한 유한 평탄 커버에 영향을 받지 않으며, 스택 위에서의 산술적 교차 이론의 일관성을 보장한다.