[논문 리뷰] Hereditarily normal manifolds of dimension > 1 may all be metrizable

Alan Dow, Franklin D. Tall|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 16.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 위상수학에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다. PFA(S)[S] 공리계 하에서, 차원이 1보다 큰 모든 헤리티터리 노멀 매니폴드는 추가 조건 없이도 메트라이잭빌리티를 갖는다—예를 들어 헤리티터리 컬렉션와이즈 하우스도르프성이나 대형 기수 공리 등을 요구하지 않는다. 저자들은 이 결과를 얻기 위해, GA(강력한 포스팅 공리계)가 메트라이잭빌리티를 유도함을 보이고, 이를 위해 일관된 수직 선형 트리와 가산 지지 반복을 사용한 포스팅 확장체를 구성한다.

ABSTRACT

P.J. Nyikos has asked whether it is consistent that every hereditarily normal manifold of dimension > 1 is metrizable, and proved it is if one assumes the consistency of a supercompact cardinal, and, in addition, that the manifold is hereditarily collectionwise Hausdorff. We are able to omit these extra assumptions.

연구 동기 및 목표

• 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드가 어떤 일관된 집합론적 프레임워크 하에서 반드시 메트라이잭빌리티를 가져야 하는지에 대한 P. J. 뉴이코스의 오랜 문제를 해결하기 위해.
• 이전의 부분적 해결에서 요구되었던 추가 조건—예를 들어 헤리티터리 컬렉션와이즈 하우스도르프성 또는 초초기 기수—를 제거하기 위해.
• S가 일관된 수직 선형 트리일 때, PFA(S)[S]가 모든 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드가 메트라이잭빌리티를 갖는다는 것을 보여주기 위해.
• b > ω₁, CW, PPI+, P22를 포함하는 GA라는 공리군이 일관되게 존재함을 규명하고, 이들이 메트라이잭빌리티 결과를 공동으로 유도함을 증명하기 위해.

제안 방법

• 일관된 수직 선형 트리 S를 갖는 모델 위에서 길이 ω₂인 가산 지지 반복을 구성하고, S를 유지하며 b = ω₂를 보장하는 포스팅 포지션을 사용한다.
• 각 단계 α < ω₂에서, 이름 h(α)가 정적 집합 조건을 만족하는 P-이deal을 인코딩하는 경우(1), λ 위의 위상이 유한한 부분덮개를 갖지 않는 경우(2), 또는 그 외의 경우는 코헨 포스팅을 사용한다(3).
• 기본 하위모델과 클럽 집합을 이용해, 이름 h(λ)가 (1) 또는 (2)의 조건을 만족하는 단계 λ ∈ S²₁ ∩ C를 식별함으로써, 포스팅 확장체가 P22와 PPI+를 만족함을 보장한다.
• PFA(S)[S]가 컴팩트하고 분리 가능하며 헤리티터리 노멀인 공간이 헤리티터리 리인델뢰프임을 유도함을 이용하여, 헤리티터리 노멀 매니폴드의 분리 가능 부분집합이 리인델뢰프이자 메트라이잭빌리티를 갖는다는 것을 보여준다.
• P-이deal 이분법(P22)과 PPI+ 원리를 적용하여, 임의의 순서형으로 컴팩트하지만 비콤팩트인 정규 공간이 비가산 자유 시퀀스를 포함함을 보이고, 만약 첫 번째 가산성이라면 ω₁의 사본을 포함함을 보여준다.
• GA(공리군: b > ω₁, CW, PPI+, P22)가 대형 기수 없이도 일관되며, GA가 모든 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드가 메트라이잭빌리티를 갖는다는 것을 유도함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤리티터리 컬렉션와이즈 하우스도르프성이나 대형 기수를 가정하지 않고, 차원이 1보다 큰 모든 헤리티터리 노멀 매니폴드가 메트라이잭빌리티를 갖는 것이 일관된가?
• RQ2 PFA(S)[S]를 사용하여, 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드의 메트라이잭빌리티를 도출할 수 있는가?
• RQ3 b > ω₁, CW, PPI+, P22(GA)의 공리군이 모두 함께 작용할 때, 모든 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드가 메트라이잭빌리티를 갖는가?
• RQ4 P22 원리—ω₁에서 P-이deal 이분법을 강화한 것—는 대형 기수 가정 없이도 일관된가?
• RQ5 일관된 수직 선형 트리와 가산 지지 반복을 사용한 포스팅 구성은, 모든 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드가 메트라이잭빌리티를 갖는 모델을 생성할 수 있는가?

주요 결과

• PFA(S)[S]는 모든 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드가 메트라이잭빌리티를 갖는다는 것을 유도한다.
• b > ω₁, CW, PPI+, P22를 포함하는 공리군 GA는 모든 차원이 1보다 큰 헤리티터리 노멀 매니폴드가 메트라이잭빌리티를 갖는다는 것을 유도한다.
• GA의 일관성은 대형 기수 가정 없이도 확립되었다.
• 일관된 수직 선형 트리가 있는 모델 위에서 길이 ω₂인 가상 지지 반복을 사용한 포스팅 구성은 b = ω₂를 보장하며, 확장체에서 P22와 PPI+가 성립함을 보장한다.
• GA 하에서 헤리티터리 노멀 매니폴드의 분리 가능 부분집합이 리인델뢰프이자 메트라이잭빌리티를 갖는다는 것이 입증되었으며, 이는 주 결과에 도달하는 핵심 단계이다.
• 기본 하위모델과 클럽 집합을 이용해 반복 과정의 특정 단계에서 포스팅 포지션들이 P22와 PPI+를 위한 필요 조건을 만족함을 식별하였다.