[논문 리뷰] Herglotz' variational principle and Lax-Oleinik evolution

Piermarco Cannarsa, Wei Cheng외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 비자율적 설정에서 Herglotz의 변분법의 최소화자에 대해 리프시츠 정규성 추정을 확립한다. 일반화된 du Bois-Reymond 보조정리를 사용하여 Erdmann의 조건과 오일러-라그랑ž 방정식을 유도하며, 라그랑지안의 구조적 가정(초선형 성장 및 유계 도함수)에 기반한 사전 리프시츠 유계성과 함께, 국소-전역 추론을 통해 시간 간격을 분할하고 정상좌표 차트의 유한한 아틀라스를 사용하여 전역 문제를 국소 문제로 환원한다. 또한 라그랑주-올라인의 진화를 통해 해밀턴-자코비 방정식의 점성해를 표현하는 공식을 제공하며, 전역 존재성과 정규성 결과를 리만다이만 다양체로 확장한다.

ABSTRACT

We develop an elementary method to give a Lipschitz estimate for the minimizers in the problem of Herglotz' variational principle proposed in \cite{CCWY2018} in the time-dependent case. We deduce Erdmann's condition and the Euler-Lagrange equation separately under different sets of assumptions, by using a generalized du Bois-Reymond lemma. As an application, we obtain a representation formula for the viscosity solution of the Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi equation \begin{align*} D_tu(t,x)+H(t,x,D_xu(t,x),u(t,x))=0 \end{align*} and study the related Lax-Oleinik evolution.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 경우 Herglotz의 변분법의 최소화자에 대해 리프시츠 정규성 추정을 확립하기.
• 다른 가정 하에 일반화된 du Bois-Reymond 보조정리를 사용하여 Erdmann의 조건과 오일러-라그랑ž 방정식을 유도하기.
• 해밀턴-자코비 방정식의 초기값 문제에 대한 점성해의 표현 공식 제공하기.
• 최소화자의 존재성과 정규성 이론을 컴팩트하고 연결되어 있으며, C²인 리만다이만 다양체로 확장하기.
• 지오메트릭 제약 조건이 있는 Herglotz의 변분법의 맥락에서 라그랑주-올라인 진화 분석하기 — 전역 및 국소적 기하학적 제약 조건을 고려하여.

제안 방법

• 최적성의 필요 조건(특히 Erdmann의 조건과 오일러-라그랑ž 방정식)을 유도하기 위해 일반화된 du Bois-Reymond 보조정리를 사용한다.
• Lagrangian L의 구조적 가정(초선형 성장 및 유계 도함수)에 기반한 최소화자에 대한 사전 리프시츠 유계성을 사용한다.
• 시간 간격을 분할하고 정상좌표 차트의 유한한 아틀라스를 사용하여 국소-전역 추론을 수행함으로써 전역 문제를 국소 문제로 환원한다.
• 동적 프로그래밍 원리를 사용하여 라그랑주-올라인 진화를 구성하며, 국소 기본해의 최소합성(convolution)을 활용한다.
• 컴팩트 다양체에서 상태 및 속도 궤적의 균일 유계성과 컴팩트성, 반구형성의 추론을 활용하여 최소화자의 존재성을 증명한다.
• 점성해는(piecewise C¹ 곡선의 최소값으로 표현되며, 각 곡선을 따라 카라테오도리 미분방정식을 풀어 값 기능을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Herglotz의 변분법의 최소화자가 시간에 의존하는 설정에서 언제 리프시츠 연속성을 유지하는가?
• RQ2 다른 가정 하에 일반화된 du Bois-Reymond 보조정리를 사용하여 Erdmann의 조건과 오일러-라그랑ž 방정식을 어떻게 독립적으로 도출할 수 있는가?
• RQ3 Herglotz 원리의 맥락에서 라그랑주-올라인 공식을 사용하여 해밀턴-자코비 방정식의 점성해를 정확히 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 최소화자의 존재성과 정규성 이론을 유클리드 영역에서 컴팩트 리만다이만 다양체로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 국소 좌표 구조와 '깨진 지오데식' 추론이 다양체 위에서 전역 최소화자를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 최소화자의 속도에 대해 유일한 리프시츠 유계성이 확립되었으며, 이 유계성은 오직 시간 간격, 초기 값 u, 그리고 다양체의 기하학적 성질에만 의존한다.
• 최소화자는 국소 좌표에서 Herglotz 방정식을 만족하며, L이 C²이면 쌍대 궤적 p(s) = L_v는 C²이다.
• 해밀턴-자코비 방정식의 점성해는 라그랑주-올라인 공식을 통해(piecewise C¹ 곡선의 최소값으로) 표현되며, 상태 및 제어 제약 조건이 포함되어 있다.
• 기본해 h_L는 국소적으로 반구형이며, 상태 및 제어 궤적의 컴팩트성 덕분에 라그랑주-올라인 공식의 최소값이 도달된다.
• 컴팩트 리만다이만 다양체에서 전역 최소화자가 존재하며, 이는 C¹-리프시츠이자, |u_ξ(s)|와 |ẋ(s)|에 대한 균일 유계성이 u, x, y 및 시간 간격에만 의존한다.
• 라그랑주-올라인 진화는 전역적으로 잘 정의되어 있으며 반구형이며, 값 함수는 점성의미에서 해밀턴-자코비 방정식을 만족한다.